《2025年时习之暑假衔接八年级数学湘教版》

6. 在学校组织的研学活动中,辰星小组合作搭建帐篷。如图是他们搭建帐篷的支架示意图。在$\triangle ABC$中,两根支架从帐篷顶点$A$支撑在水平的支架上,一根支架$AD\perp BC于点D$,另一根支架$AE的端点E在线段BD$上,且$AE= BE$。经测量,知$BD= 1.6m$,$AD= 1.2m$,$AC= 1.5m$。根据测量结果,解答下列问题：

(1)求$AE$的长。
(2)按照要求,当帐篷支架$AB与AC$所夹的角度为直角时,帐篷最为稳定。请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求。

答案： 解：
(1)设$AE=x m$，则$BE=AE=x m$，$ED=(1.6−x) m$。$\because AD \perp BC$，$\therefore \angle ADB = \angle ADC = 90^{ \circ }$。
在$Rt\triangle ADE$中，$AD^{2}+ED^{2}=AE^{2}$，即$1.2^{2}+(1.6−x)^{2}=x^{2}$，解得$x=1.25$。$\therefore AE$的长为$1.25m$。
(2)帐篷符合要求。理由如下：在$Rt\triangle ABD$中，BD = 1.6m，AD = 1.2m，$\therefore AB=\sqrt{1.6^{2}+1.2^{2}}=2(m)$。
在$Rt\triangle ADC$中，$AD = 1.2m$，$AC = 1.5m$，
$\therefore CD=\sqrt{1.5^{2}-1.2^{2}}=0.9(m)$。
$\therefore BC = BD + CD = 2.5(m)$。
$\because AB^{2}+AC^{2}=2^{2}+1.5^{2}=6.25$，$BC^{2}=2.5^{2}=6.25$，
$\therefore AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$。
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，$\angle BAC = 90^{ \circ }$。
$\therefore$帐篷符合要求。

小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究,并绘制了如下记录表格：
|课题|在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度$AD$|
|----|----|
|模型抽象||
|测绘数据|

①测得水平距离$ED$的长为15米②根据手中剩余线的长度,计算出风筝线$AB$的长为17米③牵线放风筝的手到地面的距离$BE$为1.6米|
|说明|点$A$,$B$,$E$,$D$在同一平面内|
请根据表格信息,解答下列问题。
(1)求线段$AD$的长；
(2)若想要风筝沿$DA$方向再上升12米,则在$ED$长度不变的前提下,小明同学应该再放出多少米线？

答案：
解：
(1)如图，过点$B$作$BC \perp AD$于点$C$，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{ \circ }$，$BC = 15$米，$AB = 17$米，由勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=8$(米)，则$AD = AC + CD = 8 + 1.6 = 9.6$(米)。
@@解：
(2)如图，设风筝沿$DA$方向再上升$12$米后，到达$A'$处，连接$A'B$，则$A'C = 20$米。$\therefore$此时风筝线的长为$A'B=\sqrt{A'C^{2}+BC^{2}}=25$米。$\therefore 25 - 17 = 8$(米)。答：小明同学应该再放出$8$米线。