《2025年时习之暑假衔接八年级数学湘教版》

10.如图,在Rt△ABC中,∠B= 90°.以C为圆心,小于BC的长为半径画弧分别与AC,BC边交于点F,E.分别以E,F为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧,两弧交于点N.若BM= 1,则点M到AC的距离是()
A.1
$B.\sqrt{3}$
$C.\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.2

答案： A

11.如图,在△ABC中,∠C= 90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC= ∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC= AB.其中正确的有()

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

答案： B

12.如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,AB= 16,BC= 12.
(1)△ABD与△CBD的面积之比为____；
(2)若△ABC的面积为70,求DE的长.

答案： 解:
(1)4:3
(2)过点D作DF⊥BC于点F，
∵DE⊥AB,BD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF.
∵S△ABC=S△ABD+S△BCD=70,
∴$\frac{1}{2}$AB.DE+$\frac{1}{2}$BC.DF=70.
∴$\frac{1}{2}$×16DE+$\frac{1}{2}$×12DE=70.
∴DE=5.

1.如图,点E,C在BF上,BE= CF,∠A= ∠D= 90°,请添加一个条件：____,使Rt△ABC≌Rt△DFE.

答案： AC=DE(答案不唯一)

2.如图,两条笔直的公路$l_1,l_2$相交于点A,村庄C的村民在公路的旁边建了三个加工厂A,B,D.已知AB= BC= CD= DA= 5km,村庄C到公路$l_1$的距离为4km,则村庄C到公路$l_2$的距离是()

A.3km
B.4km
C.5km
D.6km

答案： B

3.如图,在四边形ABCD中,AD= CB,BD是其对角线,分别过点A,C作AF⊥BD于点F,CE⊥BD于点E,且DE= BF.
(1)求证：△AFD≌△CEB；
(2)若△ABF的面积为1,且DF= 2BF,直接写出四边形ABCD的面积.

答案：
(1)证明：$\because D E = B F$,$\therefore D E + E F = B F + E F$.$\therefore D F =B E$.$\because A F \perp B D$,$C E \perp B D$,$\therefore \angle A F D = \angle C E B = 90 ^ { \circ }$。
在$\mathrm { Rt } \triangle A F D$和$\mathrm { Rt } \triangle C E B$中，
$\begin{cases}{D F = B E}\\{A D = C B}\end{cases}$
$\therefore \mathrm { Rt } \triangle A F D \cong$ $\mathrm { Rt } \triangle C E B ( \mathrm { HL } )$。
(2)解：四边形A B C D的面积为6。