《2025年时习之暑假衔接八年级数学湘教版》

5.如图,将菱形ABCD的一角折叠,折痕为BE,点A恰好落在点F处,$∠FBC比∠ABE大80^{\circ }$.已知$∠C= 60^{\circ }$,设$∠ABE和∠FBC$的度数分别为x和y,则可列方程组为 ()

A.$\left\{\begin{array}{l} y-x= 80^{\circ },\\ y+x= 120^{\circ }\end{array}\right. $
B.$\left\{\begin{array}{l} y-x= 80^{\circ },\\ y= 2x\end{array}\right. $
C.$\left\{\begin{array}{l} x-y= 80^{\circ },\\ y+2x= 120^{\circ }\end{array}\right. $
D.$\left\{\begin{array}{l} y-x= 80^{\circ },\\ y+2x= 120^{\circ }\end{array}\right. $

答案： D

6.如图,在菱形ABCD中,E是边BC上一点,连接AE.将菱形沿直线AE折叠,点B恰好与点C重合.若菱形的边长为4,则AE的长是 ()

A.2
B.4
C.$2\sqrt {3}$
D.$4\sqrt {3}$

答案： C

7.如图,将菱形ABCD的四个角沿相邻两边中点的连线向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,已知$EH= 8cm,EF= 6cm$.
(1)探究四边形EFGH是什么特殊四边形,并予以证明;
(2)求AD的长.

答案： 解:
(1)四边形 EFGH 是矩形,证明如下:如图,由折叠的性质可知$\angle 1=\angle 2,\angle 3=\angle 4.\because \angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180^{\circ },\therefore 2\angle 2+2\angle 3=180^{\circ }$,即$\angle 2+\angle 3=90^{\circ }.\therefore \angle HEF=90^{\circ }$.同理可得$\angle EFG=90^{\circ },\angle FGH=90^{\circ },\angle EHG=90^{\circ },\therefore$四边形 EFGH 是矩形.
(2)$\because \angle HEF=90^{\circ },EH=8cm,EF=6cm,\therefore HF=10cm.\because$四边形 EFGH 是矩形,$\therefore EG=HF=10cm$.在菱形 ABCD 中,$AB=CD,AB// CD$,又
∵E,G 分别是 AB,CD 的中点,$\therefore AE=DG,AE// DG.\therefore$四边形 AEGD 是平行四边形.$\therefore AD=EG=10cm$.

8.如图,在正方形ABCD中,E为边BC上一点,将$△ABE$沿AE折叠至$△AB'E$处,$B'E$与AC交于点F.若$∠EFC= 69^{\circ }$,则$∠CAE$的大小为 ()

A.$10^{\circ }$
B.$12^{\circ }$
C.$14^{\circ }$
D.$15^{\circ }$

答案： B

9.(1)将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠,使点A落在CD上的点$A'$处,得到折痕DE,如图①,求证:四边形$AEA'D$是正方形.
(2)将图①中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠,点C恰好落在AD上的点$C'$处,点B落在点$B'$处,得到折痕EF,$B'C'$交AB于点M,如图②.线段$MC'$与ME是否相等? 若相等,请给出证明;若不相等,请说明理由.

答案：
(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是矩形,$\therefore \angle A=\angle ADC=90^{\circ }$.由折叠知$AD=A'D,AE=A'E,\angle ADE=\angle A'DE=45^{\circ }.\therefore \angle AED=90^{\circ }-\angle ADE=45^{\circ }=\angle ADE.\therefore AD=AE.\therefore AD=AE=A'E=A'D.\therefore$四边形$AEA'D$是菱形.$\because \angle A=90^{\circ },\therefore$四边形$AEA'D$是正方形.
(2)解:$MC'=ME$.证明如下:连接$C'E$,由
(1)知$AD=AE.\because$四边形 ABCD 是矩形,$\therefore AD=BC,\angle EAC'=\angle B=90^{\circ }$.由折叠知$B'C'=BC,\angle B=\angle B',\therefore AE=B'C',\angle EAC'=\angle B'$.在$Rt\triangle EC'A$和$Rt\triangle C'EB'$中,$\left\{\begin{array}{l} EC'=C'E,\\ AE=B'C',\end{array}\right. \therefore Rt\triangle EC'A\cong Rt\triangle C'EB'$(HL).$\therefore \angle C'EA=\angle EC'B'.\therefore MC'=ME$.