《2025年时习之暑假衔接八年级数学湘教版》

1. 下列方程一定是一元二次方程的是 ()
A. $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $
B. $ 3 x ^ { 2 } - 2 x = 3 ( x ^ { 2 } - 2 ) $
C. $ x ^ { 3 } - 2 x - 4 = 0 $
D. $ ( x - 1 ) ^ { 2 } - 1 = 0 $

答案： 1.D

2. 若关于x的方程$ ( m - 2 ) x ^ { 2 } + x - 1 = 0 $是一元二次方程,则m的取值范围是 ()
A. $ m \neq 2 $
B. $ m = 2 $
C. $ m \geq 2 $
D. $ m \neq 0 $

答案： 2.A

3. 已知关于x的一元二次方程$ ( k - 2 ) x ^ { 2 } + 3 x + k ^ { 2 } - 4 = 0 $的常数项为0,则k的值为 ()
A. -2
B. 2
C. 2或-2
D. 4或-2

答案： 3.A

4. 若$ ( 1 - m ) x ^ { | m | + 1 } + 3 x + 7 = 0 $是关于x的一元二次方程,则m的值为______。

答案： 4.−1

5. 把下列关于x的方程化为一元二次方程的一般形式,再写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项。
(1)$ ( x + 3 ) ( x - 3 ) = 3 x ^ { 2 } + 2 x $；
(2)$ \frac { x ^ { 2 } } { 3 } - \frac { x + 1 } { 2 } = 1 $。

答案： 解:
(1)x²−9=3x²+2x,一般形式为2x²+2x+9=
　0.二次项系数为2，一次项系数为2,常数项为9.
(2)2x²−3x−3=6,一般形式为2x²−3x−9=0.二次项系数为2，一次项系数为−3，常数项为−9.

6. 如图,在一个边长为3的正方形两边均剪去宽为x的矩形,剩余部分的面积为5,列出关于x的方程。

答案： 解:根据题意，得(3−x)²=5.

7. 根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化为一般形式。
(1)某印刷厂3月份印刷了50万册书籍,5月份印刷了72万册书籍,如果每月印书量的增长率都相同,求每月印书量的增长率x；
(2)一个微信群里共有x个好友,每个好友都分别给其他好友发了一条消息,这样一共产生132条消息。

答案： 解:
(1)根据题意，得50(1+x)2=72.化为一般形式为25x²+50x−11=0.
(2)根据题意，得x(x−1)=132,化为一般形式为x²−x−132=0.

8. 一块长方形铁皮长为4dm,宽为3dm,在四角各截去一个面积相等的正方形,做成一个无盖的盒子,要使盒子的底面积是原来铁皮面积的一半,若设盒子的高为xdm,根据题意列出方程,并化成一般形式。

答案： 解:由题意得无盖长方体盒子的底面长为(4−2x)dm,宽为(3−2x)dm.由题意,得(4−2x)(3−2x)=4×3×$\frac{1}{2}$,化为一般形式为2x²−7x+3=0.