《2025年时习之暑假衔接八年级数学湘教版》

1.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E,F分别为OC,BC的中点.若$EF= 3$,则AC的长为______.

答案： 12

2.如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,$EF// CB$,交AB于点F,如果$EF= 2$,那么菱形ABCD的周长为______.

答案： 16

3.如图,四边形ABCD是菱形,$CD= 5$,$BD= 8$,$AE\perp BC$于点E,则AE的长为______.

答案： $\frac{24}{5}$

4.如图,连接四边形ABCD各边的中点,得到四边形EFGH,还要添加条件AC______BD,才能保证四边形EFGH是矩形.

答案： $\perp$

5.已知：如图,在$\square ABCD$中,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接DF.
(1)求证：$AB= AF$.
(2)当$\triangle ABC$满足什么条件时,四边形ACDF为正方形？请说明理由.

答案：
(1) 证明：$ \because $ 四边形 ABCD 是平行四边形，$ \therefore AB = CD $，$ AB // CD $。$ \therefore \angle AFG = \angle GCD $。$ \because $ 点 G 是 AD 的中点，$ \therefore AG = DG $。又 $ \because \angle AGF = \angle DGC $，$ \therefore \triangle AGF \cong \triangle DGC $ (AAS)。$ \therefore AF = CD $。$ \therefore AB = AF $。
(2) 解：当 $ AB = AC $，$ \angle BAC = 90^{\circ} $ 时，四边形 ACDF 是正方形。理由如下：由
(1) 知 $ AF = CD $，又 $ \because AB // CD $，$ \therefore AF // CD $。$ \therefore $ 四边形 ACDF 是平行四边形。由
(1) 知 $ AB = AF $。$ \because AB = AC $，$ \therefore AF = AC $。$ \therefore $ 四边形 ACDF 是菱形。$ \because \angle BAC = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle CAF = 90^{\circ} $。$ \therefore $ 四边形 ACDF 是正方形。

数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.
(以上材料来源于《古证复原的原则》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)
请根据该图完成这个推论的证明过程.
证明：$S_{矩形NFGD}= S_{\triangle ADC}-(S_{\triangle ANF}+S_{\triangle FGC})$,$S_{矩形EBMF}= S_{\triangle ABC}-$(______+______).
易知$S_{\triangle ADC}= S_{\triangle ABC}$,______= ______,______= ______.
可得$S_{矩形NFGD}= S_{矩形EBMF}$.

答案： $S_{\triangle AEF}$ $S_{\triangle FCM}$ $S_{\triangle ANF}$ $S_{\triangle AEF}$ $S_{\triangle FGC}$ $S_{\triangle FMC}$