《2025年时习之暑假衔接八年级数学湘教版》

例1 求证：无论$k$为何值,关于$x的方程x^{2}-(3k+1)x+2(k^{2}+k)= 0$总有实数根．
导析：此方程是关于$x$的一元二次方程,先求出根的判别式,然后只需证明判别式的值是非负数,即可以证明该方程有实数根．

答案： $\because a= 1$,$b= -(3k+1)$,$c= 2(k^{2}+k)$,
$\therefore \Delta =[-(3k+1)]^{2}-4×1×2(k^{2}+k)= 9k^{2}+6k+1-8k^{2}-8k= k^{2}-2k+1= (k-1)^{2}$．
$\because (k-1)^{2}≥0$,即$\Delta ≥0$,
$\therefore无论k$为何值,原方程总有实数根．

1. 关于$x的方程2x^{2}+(m+2)x+m= 0$．
(1)求证：无论$m$取何值,方程总有两个实数根；
(2)请取一个合适的$m$值,并求此时方程的根．

答案：
(1)证明:
∵2x²+(m+2)x+m=0,
∴a=2,b=m+2,c=m.
∴△=b²−4ac=(m+2)²−8m=(m−2)²≥0.
∴无论m取何值，方程总有两个实数根.
(2)解:取m=−2,则方程变为2x²−2=0,解得x1=1,x2=−1.
∴当m=−2时,方程的两根为x1=1,α2=−1.(答案不唯一)

例2 若关于$x的一元二次方程(k-3)x^{2}+x-2= 0$有两个实数根,则整数$k$的最小值是()
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

答案： B

2. 已知关于$x的一元二次方程mx^{2}+4x-1= 0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是()
A. $m＞-4且m≠0$
B. $m＜4且m≠0$
C. $m＜-4$
D. $m＞4$

答案： A

1. 一元二次方程$x^{2}-4x+5= 0$的根的情况是()
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根

答案： D