《2025年时习之暑假衔接八年级数学湘教版》

例1 已知a是方程$x^{2}+4x-21= 0$的根。
(1)求$a^{2}+4a$的值；
(2)求代数式$(2a+3)^{2}-4(5-a)$的值。

答案：
(1)由条件可知$a^{2}+4a-21= 0$,$\therefore a^{2}+4a= 21$。

(2)原式$=4a^{2}+12a+9-20+4a= 4a^{2}+16a-11= 4(a^{2}+4a)-11= 4×21-11= 73$。

1.已知$x= -1$是关于x的方程$x^{2}-2x+c= 0$的一个根,求c的值。

答案： 解:
∵x=−1是关于x的方程x²−2x十c=0的一个根，
∴(−1)²−2×(−1)+c=0.
∴c=−3.

例2 解方程：
(1)$x^{2}-25= 0$；
(2)$(x+1)^{2}= 49$。

答案：
(1)$\because x^{2}-25= 0,\therefore x^{2}= 25.\therefore x= 5或x= -5$。

(2)$\because (x+1)^{2}= 49,\therefore x+1= \pm 7.\therefore x+1= 7或x+1= -7$,解得$x= 6或x= -8$。

例3 解方程：$x^{2}-4x+4= 5$。

答案： 原方程可化为$(x-2)^{2}= 5$,
$\therefore x-2= \pm \sqrt {5}$,即$x-2= \sqrt {5}$,或$x-2= -\sqrt {5}$。
$\therefore x_{1}= 2+\sqrt {5},x_{2}= 2-\sqrt {5}$。

2.解下列一元二次方程,可以直接开平方的是()
A.$x^{2}+6x= 0$
B.$(x-5)^{2}= 16$
C.$x^{2}+5x-6= 0$
D.$(x-2)x+3x-8= 0$

答案： B

3.用直接开平方解下列一元二次方程,其中无实数解的方程为()
A.$x^{2}+3= 0$
B.$-2x^{2}= 0$
C.$x^{2}-4= 0$
D.$(x-2)^{2}= 0$

答案： A

4.老师出示问题：“解方程：$x^{2}-1= 0$。”四位同学给出了以下答案：甲：$x= 1$；乙：$x_{1}= x_{2}= 1$；丙：$x_{1}= x_{2}= -1$；丁：$x_{1}= 1,x_{2}= -1$。下列判断正确的是()
A.甲正确
B.乙正确
C.丙正确
D.丁正确

答案： D