《2025年时习之暑假衔接八年级数学湘教版》

【根题】如图,直线$y = x + 3交y轴于点A$,交$x轴于点B$,经过点$(2,2)的直线交x轴于点C$,交$y轴于点D$,交$AB于点E$,已知点$E$的横坐标为1.
(1)直线$CD$的解析式为______;
(2)求$\triangle EBC$的面积;
(3)求$\triangle ADE$的面积.

答案： 解:
(1)$y=-2x+6$
(2)
∵点$E$的横坐标为$1$，将$x=1$代入$y=x+3$中，得$y=4$，$∴E(1,4)$。把$y=0$代入$y=x+3$，得$0=x+3$，解得$x=-3$。$∴B(-3,0)$。把$y=0$代入$y=-2x+6$，得$0=-2x+6$，解得$x=3$。$∴C(3,0)$。$∴BC=6$。$∴S_{\triangle EBC}=\frac{1}{2}×BC×y_E=\frac{1}{2}×6×4=12$。
(3)易知点$D(0,6)$，$A(0,3)$，则$AD=3$。$∵E(1,4)$，$∴S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}×AD×x_E=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$。

【变式1】一题多解 求四边形$AOCE$的面积.
方法一:$S_{四边形AOCE} = S_{\triangle BCE} - S_{\triangle AOB}$.
方法二:割补法 过点$E作EF \perp x轴于点F$,则$S_{四边形AOCE} = S_{\triangle CEF} + S_{梯形AEFO}$.

答案： 解:方法一:$S_{四边形AOCE}=S_{\triangle BCE}-S_{\triangle AOB}=12-\frac{1}{2}×3×3=\frac{15}{2}$。
方法二:
∵$E(1,4)$，$C(3,0)$，$∴EF=4$，$OF=1$，$CF=2$。则$S_{四边形AOCE}=S_{\triangle CEF}+S_{梯形AEFO}=\frac{1}{2}×4×2+\frac{1}{2}×(4+3)×1=\frac{15}{2}$。

【变式2】一题多解 若点$M(m,2)在直线CD$上,求$\triangle BEM$的面积.
方法一:$S_{\triangle BEM} = S_{\triangle BCE} - S_{\triangle BCM}$.

方法二:铅垂法 过点$E作EN // y轴交直线BM于点N$,则$S_{\triangle BEM} = S_{\triangle BEN} + S_{\triangle MEN}$.

答案： 解:
∵直线$CD$的解析式为$y=-2x+6$，点$M(m,2)$在直线$CD$上，$∴-2m+6=2$，解得$m=2$。即点$M$的坐标为$(2,2)$。
方法一:$S_{\triangle BEM}=S_{\triangle BCE}-S_{\triangle BCM}=12-\frac{1}{2}×6×2=6$。
方法二:
∵$B(-3,0)$，$M(2,2)$，易得直线$BM$的解析式为$y=\frac{2}{5}x+\frac{6}{5}$。当$x=1$时，$y=\frac{2}{5}+\frac{6}{5}=\frac{8}{5}$。即点$N$的坐标为$(1,\frac{8}{5})$。$∴EN=4-\frac{8}{5}=\frac{12}{5}$。$∴S_{\triangle BEM}=S_{\triangle BEN}+S_{\triangle MEN}=\frac{1}{2}×EN×(x_E-x_B)+\frac{1}{2}×EN×(x_M-x_E)=\frac{1}{2}×\frac{12}{5}×4+\frac{1}{2}×\frac{12}{5}×1=6$。