《2025年时习之暑假衔接八年级数学湘教版》

3.无论a,b为何值,代数式$a^{2}+b^{2}+6b+11-2a$的值总是()
A.非负数
B.0
C.正数
D.负数

答案： C

4.已知$M= x^{2}+x,N= 3x-2$,则M,N的大小关系是M____N(填“＞”“＜”或“=”).

答案： ＞

5.用配方法解方程:
(1)$4x^{2}-12x-7= 0$;
(2)$2x^{2}+4x-6= 0$;
(3)$4x^{2}+1= 5x$;
(4)$3x^{2}+2\sqrt{3}x+1= 0$.

答案： 解:
(1)x1=$\frac{7}{2}$,x2=−$\frac{1}{2}$.
(2)x1=1,x2=−3.
(3)x1=1,x2=$\frac{1}{4}$.
(4)x1=x2=−$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

6.下面是小明用配方法解一元二次方程$2x^{2}+4x-8= 0$的过程,请认真阅读并完成相应的任务.
解:移项,得$2x^{2}+4x= 8$.…第一步
二次项系数化为1,得$x^{2}+2x= 4$.…第二步
配方,得$(x+2)^{2}= 8$.…第三步
由此可得$x+2= \pm2\sqrt{2}$.…第四步
所以$x_{1}= -2+2\sqrt{2},x_{2}= -2-2\sqrt{2}$.…第五步
(1)小明同学的解答过程,从第____步开始出现错误;
(2)请写出你认为正确的解答过程.

答案： 解:
(1)三
(2)正确的解答过程如下:2x²+4x−8=0,2x²+4x=
　8,x²+2x=4,x²+2x+1=4+1,(x+1)²=5,x+1=±$\sqrt{5}$,x1=−1+　　$\sqrt{5}$,x2=−1−　　$\sqrt{5}$

7.阅读材料,回答下列问题:
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题.
【初步思考】观察下列式子:
$x^{2}+4x+2= (x^{2}+4x+4-4)+2= (x+2)^{2}-4+2= (x+2)^{2}-2$.
$\because (x+2)^{2}\geq0$,
$\therefore x^{2}+4x+2= (x+2)^{2}-2\geq-2$.
$\therefore代数式x^{2}+4x+2$的最小值为-2.
【尝试应用】(1)求$m^{2}+2m+4$的最小值;
【拓展提高】(2)求$4-x^{2}+2x$的最大值.

答案： 解:
(1)
∵m²+2m+4=(m+1)²+3,又对于任意的m 都有(m+1)²≥0,
∴m²+2m+4=(m+1)²+3≥3.
∴m²+2m+4的最小值为3.
(2)
∵4−x²+2x=−(x²−2x)+4=−(x−1)²+5,又对于任意的x都有(x−1)²≥0，
∴−(x−1)²≤0.
∴4−x²+2x=−(x−1)²+5≤5.
∴4−x²+2x的最大值为5.