《2025年时习之暑假衔接八年级数学湘教版》

1. 方程$x ^ { 2 } + \sqrt { 5 } x = 1$中,$b ^ { 2 } - 4 a c$的值为()
A. $1$
B. $3$
C. $6$
D. $9$

答案： D

2. 用公式法解方程$- 3 x ^ { 2 } + 5 x - 1 = 0$,所得解正确的是()
A. $x = \frac { - 5 \pm \sqrt { 13 } } { 6 }$
B. $x = \frac { - 5 \pm \sqrt { 13 } } { 3 }$
C. $x = \frac { 5 \pm \sqrt { 13 } } { 6 }$
D. $x = \frac { 5 \pm \sqrt { 13 } } { 3 }$

答案： C

3. 一元二次方程$x ^ { 2 } - 2 x - c = 0$能用公式法求解的前提是()
A. $c = 1$
B. $c \geq 1$
C. $c \geq - 1$
D. $c \leq - 1$

答案： C

4. 若$x = \frac { 2 \pm \sqrt { 4 - 4 × 3 × ( - 1 ) } } { 2 × 3 }是一元二次方程a x ^ { 2 } + b x + c = 0$的根,则$a + b + c = $()
A. $- 2$
B. $4$
C. $2$
D. $0$

答案： D

5. 方程$x ^ { 2 } - 3 x + 2 = 0$的根是______。

答案： x1=1,x2=2

6. 方程$2 x ^ { 2 } - 6 x - 1 = 0$的负数根为______。

答案： $\frac{3−\sqrt{11}}{2}$

7. 若关于$x的方程2 x ^ { 2 } + x + k = 0的一个根为x = - \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 4 }$,则此方程的另一个根为______。

答案： $\frac{−1+\sqrt{5}}{4}$

8. 用公式法解下列方程：
(1)$x ^ { 2 } - 5 x - 6 = 0$；
(2)$3 x ( x + 2 ) = 4 ( x - 1 ) + 7$。

答案： 解:
(1)x1=6,x2=−1.　
(2)x1=$\frac{−1+\sqrt{10}}{3}$,x2=$\frac{−1−\sqrt{10}}{3}$.

9. 已知关于$x的一元二次方程x ^ { 2 } - 6 x + k - 6 = 0$。
(1)若方程的一个根为$x = - 1$,求$k$的值；
(2)若$k = 1$,解此方程。

答案： 解:
(1)把x=−1代入方程x²−6x+k−6=0,得1+6+k−6=0,解得k=−1.　
(2)当k=1时,方程化为x²−6x−5=0,
∵a=1,b=−6,c=−5,
∴b²−4ac=(−6)²−4×1×(−5)=　56＞0.
∴x=$\frac{6\sqrt{56}}{2×1}$=3±$\sqrt{14}$
∴x1=3+$\sqrt{14}$,x2=　3−$\sqrt{14}$

10. 小星在用公式法解方程$3 x ^ { 2 } - 5 x = 2$时,呈现了如下解答过程：
解：将原方程化为一般形式,得$3 x ^ { 2 } - 5 x + 2 = 0$。……第一步
这里$a = 3$,$b = - 5$,$c = 2$。……第二步
$\because b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 5 ) ^ { 2 } - 4 × 3 × 2 = 1 ＞ 0$,……第三步
$\therefore x = \frac { - ( - 5 ) \pm \sqrt { 1 } } { 2 × 3 } = \frac { 5 \pm 1 } { 6 }$,……第四步
即$x _ { 1 } = \frac { 2 } { 3 }$,$x _ { 2 } = 1$。……第五步
(1)小星从第______步开始出错(填序号“一、二、三、四、五”中其中一个)；
(2)请用公式法将正确求解方程的过程写出来。

答案： 解:
(1)一　
(2)将原方程化为一般形式为3x²−5x−2=0，
∵a=3,b=−5,c=−2,
∴b²−4ac=(−5)²−4×3×(−2)=49＞0.
∴x=$\frac{5±7}{2×3}$←
∴x1=2,x2=−$\frac{1}{3}$.