《2025年时习之暑假衔接八年级数学湘教版》

4.如图,已知BF平分△ABC的外角∠ABE,D为射线BF上一动点.过点D作DM⊥BE于点M,DN⊥AB于点N.若DA= DC,求证：

(1)△DMC≌△DNA；
(2)∠ABC= ∠ADC.

答案： 证明:
(1)
∵BF平分∠ABE,DM⊥BE,DN⊥AB,
∴DM=DN.
∵DA=DC,
∴Rt△DMC≌Rt△DNA (HL).
(2)由
(1)可知△DMC≌△DNA，
∴∠DAB=
　∠DCB.
∵∠DAB+∠ADC=∠DCB+∠ABC,
∴∠ABC=∠ADC.

如图②,若面积为S的四边形ABCD的四条角平分线交于点O,各边长分别为AB= a,BC= b,CD= c,AD= d,求点O到四边的距离r.

答案： 解:连接OA,OB,OC,OD.
∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=$\frac{1}{2}$ar+$\frac{1}{2}$br+$\frac{1}{2}$cr+$\frac{1}{2}$dr=
　$\frac{1}{2}$(a+b+c+d)r,
∴r=$\frac{2S}{+b+c+d}$.