《2025年时习之暑假衔接八年级数学湘教版》

(1)折叠问题的本质是轴对称变换,折叠的部分在折叠前后是全等图形.如图,将矩形ABCD沿FG折叠,
使点A的对应点E落在CF上,则有
①线段相等:$ED'= $____,$EG= $____,$FD'= $____;
②角度相等:$∠D'= $____,$∠D'EG= $____;
③全等关系:四边形$FD'EG\cong$四边形____.
(2)折痕可看作垂直平分线:$GF⊥$____,$AO= $____.
折痕垂直平分连接两个对应点的线段,即FG垂直平分AE.
(3)折痕可看作角平分线:$∠EGF= $____.
对应线段所在的直线与折痕的夹角相等.

答案：
(1)①AD AG FD ②$\angle D$ $\angle DAG$ ③FDAG
(2)AE EO
(3)$\angle AGF$

1.如图,已知矩形ABCD,将$△BCD$沿对角线BD折叠,记点C的对应点为$C'$.若$∠ADC'= 40^{\circ }$,则$∠BDC$的度数为 ()

A.$25^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$65^{\circ }$

答案： D

2.如图,将长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠,点D,C的对应点分别为$D',C'$,线段$D'C'$交线段BC于点G.若$∠FGC'= 20^{\circ }$,则$∠DEF$的度数是____.

答案： $55^{\circ }$

3.将矩形纸片按如图所示折叠$(BD⊥CD)$.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)若矩形纸片的宽为2,求▱ABCD的面积.

答案：
(1)证明:
∵ 四边形 EGHF 是矩形,
∴ EF$//$GH.又
∵BD$\perp$CD,
∴$\angle EDB=\angle DBH=90^{\circ }$.由折叠可得$\angle EDA=\angle ADB=45^{\circ },\angle DBC=\angle CBH=45^{\circ },\therefore \angle ADB=\angle DBC.\therefore AD// BC$.又
∵CD$//$AB,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
(2)解:
∵DB$\perp$AB,$\angle ADB=45^{\circ },\therefore AB=DB=2.\therefore$▱ABCD的面积$=2×2 = 4$.

4.如图,将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠,已知$AF// BE,DF// CE$,CE交AF于点G,过点G作$GH// EF$,交线段BE于点H.
(1)判断$∠CGH与∠DFE$是否相等,并说明理由.
(2)①判断GH是否平分$∠AGE$,并说明理由;
②若$∠DFA= 52^{\circ }$,求$∠HGE$的度数.

答案： 解:
(1)$\angle CGH=\angle DFE$,理由如下:
∵DF$//$CE,GH$//$EF,
∴$\angle AGC=\angle AFD,\angle AGH=\angle AFE$.
∵$\angle CGH=\angle AGC+\angle AGH,\angle DFE=\angle DFA+\angle AFE,\therefore \angle CGH=\angle DFE$.
(2)①GH平分$\angle AGE$,理由如下:如图，
∵GH$//$EF,
∴$\angle AGH=\angle AFE,\angle HGE=\angle GEF$.
∵CE$//$DF,
∴$\angle 1=\angle GEF$.由折叠易得$\angle 1=\angle GFE,\therefore \angle GFE=\angle GEF.\therefore \angle AGH=\angle EGH.\therefore$GH平分$\angle AGE$.
②
∵$\angle EFG=\angle 1,\angle DFG=52^{\circ },\therefore \angle EFG=64^{\circ }.\because$GH$//$EF,$\therefore \angle AGH=\angle AFE=64^{\circ }.\therefore \angle HGE=\angle AGH=64^{\circ }$.