《2025年时习之暑假衔接八年级数学湘教版》

10.如图,在菱形ABCD中,$AB= 13cm$,BC边上的高$AH= 5cm$,那么对角线AC的长为______cm.

答案： $\sqrt{26}$

11.如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使$BE= AB$,连接CE.
(1)求证：$BD= EC$；
(2)若$\angle E= 50^{\circ}$,求$\angle BAO$的大小.

答案：
(1) 证明：$ \because $ 四边形 ABCD 是菱形，$ \therefore AB = CD $，$ AB // CD $。又 $ \because BE = AB $，$ \therefore BE = CD $。$ \because BE // CD $，$ \therefore $ 四边形 BECD 是平行四边形。$ \therefore BD = EC $。
(2) 解：$ \because $ 四边形 BECD 是平行四边形，$ \therefore BD // CE $。$ \therefore \angle ABO = \angle E = 50^{\circ} $。又 $ \because $ 四边形 ABCD 是菱形，$ \therefore AC \perp BD $。$ \therefore \angle BAO = 90^{\circ} - \angle ABO = 40^{\circ} $。

12.正方形具有而菱形不一定具有的性质是()
A.四条边都相等
B.对角线相等
C.对角线平分一组对角
D.对角线垂直且互相平分

答案： B

13.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则$\angle ABE$的度数为()

A.$45^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$15^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

答案： C

14.已知四边形ABCD是平行四边形,再从①$AD= CD$,②$\angle ABC= 90^{\circ}$,③$OA= OB$,O为对角线AC,BD的交点,④$AC\perp BD$四个条件中,选两个作为补充条件,使得四边形ABCD是正方形.现有下列四种选法,其中错误的是()
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④

答案： B

15.如图,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且$CE= DF$,AE,BF相交于点O.若$S_{\triangle AOB}= 10$,则$S_{四边形DEOF}= $______.

答案： 10

16.如图,四边形ABCD为矩形,E是BC延长线上一点,AE交CD于点G,F是AE上一点,且$AC= CF= EF$,$\angle AEB= 15^{\circ}$.
(1)求$\angle ACF$的度数；
(2)求证：矩形ABCD为正方形.

答案：
(1) 解：$ \because CF = EF $，$ \therefore \angle FCE = \angle AEB = 15^{\circ} $。$ \therefore \angle AFC = \angle FCE + \angle AEB = 30^{\circ} $。$ \because AC = CF $，$ \therefore \angle FAC = \angle AFC = 30^{\circ} $。$ \therefore \angle ACF = 180^{\circ} - \angle FAC - \angle AFC = 120^{\circ} $。
(2) 证明：$ \because $ 四边形 ABCD 为矩形，$ \therefore AD // BC $，$ \angle D = 90^{\circ} $。$ \therefore \angle DAG = \angle AEB = 15^{\circ} $。由
(1) 知 $ \angle FAC = 30^{\circ} $，$ \therefore \angle DAC = \angle DAG + \angle FAC = 45^{\circ} $。$ \because \angle D = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle ACD = \angle DAC = 45^{\circ} $。$ \therefore AD = CD $。$ \therefore $ 矩形 ABCD 为正方形。