《2025年时习之暑假衔接八年级数学湘教版》

4. 如图,点$P在反比例函数y= \frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$PQ\perp x$轴,垂足为$Q$,设$\triangle POQ的面积是S$,那么$S与k$之间的数量关系是()

A. $S= \frac{k}{4}$ B. $S= \frac{k}{2}$ C. $S= k$ D. 不能确定

答案： B

5. 如图,四边形$ABCD$是平行四边形,$CD在x$轴上,点$B在y$轴上,反比例函数$y= \frac{k}{x}(x＞0)的图象经过点A$,且$\square ABCD$的面积为4,则$k$的值是()

A. 4 B. -4 C. 2 D. -2

答案： A

6. 如图,反比例函数$y= \frac{k}{x}的图象经过点(1,4)$,$P$是反比例函数图象上任意一点,过点$P分别作x$轴、$y$轴的垂线,垂足分别为$M$,$N$。
(1)求$k$的值；
(2)求证：矩形$OMPN$的面积为定值。

答案：
(1)解:
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点(1，4)，
∴k=4×1=4.
(2)证明:设点P的坐标为(a,b).
∵P是反比例函数图象上任意一点，PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴ab=k,PN=|a|,PM=|b|.
∴矩形OMPN的面积=PN.PM=|a|.|b|=|k|=4.
∴矩形OMPN的面积为定值.

1. 已知一个函数的自变量与因变量的对应值满足下表($x$为自变量),则这个函数的表达式为()
| $x$ | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | 3 | 4.5 | 9 | -9 | -4.5 | -3 |
A. $y= \frac{9}{x}$
B. $y= -\frac{9}{x}$
C. $y= \frac{x}{9}$
D. $y= -\frac{x}{9}$

答案： B

2. 过反比例函数$y= \frac{5}{x}图象上一点A作x$轴的垂线,垂足为$M$,当点$A$在双曲线上运动时,$O$为坐标原点,则$Rt\triangle AMO$的面积等于______。

答案： $\frac{5}{2}$

3. 如图,$C_1是反比例函数y= \frac{k}{x}$在第一象限内的图象,且过点$A(2,1)$,$C_2与C_1关于x$轴对称,那么图象
$C_2$对应的函数表达式为______($x＞0$)。

答案： y=−$\frac{2}{x}$

4. 反比例函数$y= \frac{k}{x}与一次函数y= 2x-4的图象都过点A(n,4)$。
(1)求点$A$的坐标；
(2)求反比例函数的表达式。

答案： 解:
(1)将点A(n,4)代入y=2x−4,得2n−4=4,解得n=4.
∴点A的坐标为(4,4).
(2)将点A(4,4)代入y=$\frac{k}{x}$得k=16,
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{16}{x}$.

5. 如图,一次函数$y_1= kx+b(k\neq0)和反比例函数y_2= \frac{m}{x}(m\neq0)的图象相交于点A(-4,2)$,$B(n,-4)$。
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)观察图象,直接写出不等式$y_1＜y_2$的解集。

答案： 解:
(1)将点A(−4,2)代入y2=$\frac{m}{x}$,得m=−8.
∴y2=−$\frac{8}{x}$.将点B(n,−4)代入y2=−$\frac{8}{x}$,得−$\frac{8}{n}$=
　−4,解得n=2.
∴B(2,−4).将A(−4,2),B(2,−4)
　代入y1=kx+b,得{2−=4−=42kk++bb',解得{bk==−−21.,
∴y1=−x−2.
(2)由图象直接可得x＞2或−4＜x＜0.