《2025年5年中考3年模拟八年级数学上册人教版》

1. 等腰三角形的一个外角等于$100^{\circ }$,则与它不相邻的两个内角的度数分别为(D)
A.$20^{\circ },80^{\circ }$
B.$50^{\circ },50^{\circ }$
C.$80^{\circ },80^{\circ }$
D.$20^{\circ },80^{\circ }或50^{\circ },50^{\circ }$

答案： D
∵ 等腰三角形的一个外角等于 $ 100^{\circ} $，
∴ 与这个外角相邻的内角是 $ 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} $。① $ 80^{\circ} $ 角是顶角时，底角是 $ \frac{1}{2} \times (180^{\circ} - 80^{\circ}) = 50^{\circ} $，
∴ 所求的两个内角的度数分别为 $ 50^{\circ} $，$ 50^{\circ} $；② $ 80^{\circ} $ 角是底角时，顶角是 $ 180^{\circ} - 80^{\circ} \times 2 = 20^{\circ} $，
∴ 所求的两个内角的度数分别为 $ 80^{\circ} $，$ 20^{\circ} $。
综上所述，所求的两个内角的度数分别为 $ 50^{\circ} $，$ 50^{\circ} $ 或 $ 80^{\circ} $，$ 20^{\circ} $。故选 D。

2. 「2025广西钦州期中」如图,在$3×3$的正方形网格中,A,B两点都在小方格的格点上,若点C也在格点上,且$\triangle ABC$是等腰三角形,那么符合题意的点C共有( )

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案：
C 如图所示，当 $ AB $ 为腰时，符合题意的点 $ C $ 有 2 个，当 $ AB $ 为底边时，符合题意的点 $ C $ 有 1 个。故选 C。

3. 「2025山东青岛二十六中月考」数学课上,张老师举了下面的例题：
例1：在等腰三角形ABC中,$∠A= 110^{\circ }$,求$∠B$的度数.(答案：$35^{\circ }$)
例2：在等腰三角形ABC中,$∠A= 40^{\circ }$,求$∠B$的度数.(答案：$40^{\circ }或70^{\circ }或100^{\circ }$)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题：
变式：在等腰三角形ABC中,$∠A= 80^{\circ }$,求$∠B$的度数.
(1)变式中$∠B$的度数为____$50^{\circ }$或$20^{\circ }$或$80^{\circ }$.
(2)解答完(1)后,小敏发现,$∠A$的度数不同,得到$∠B$的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,设$∠A= x^{\circ }$,当$∠B$有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.
$0 < x < 90$且$x≠60$

答案： 解析
(1) 若 $ \angle A $ 为顶角，则 $ \angle B = \frac{1}{2} \times (180^{\circ} - 80^{\circ}) = 50^{\circ} $，
若 $ \angle A $ 为底角，$ \angle B $ 为顶角，则 $ \angle B = 180^{\circ} - 2 \times 80^{\circ} = 20^{\circ} $，
若 $ \angle A $ 为底角，$ \angle B $ 为底角，则 $ \angle B = 80^{\circ} $，
∴ $ \angle B = 50^{\circ} $ 或 $ 20^{\circ} $ 或 $ 80^{\circ} $。
(2) 分两种情况：
① 当 $ 90 \leq x ＜ 180 $ 时，$ \angle A $ 只能为顶角，
∴ $ \angle B $ 的度数只有一个；
② 当 $ 0 ＜ x ＜ 90 $ 时，
若 $ \angle A $ 为顶角，则 $ \angle B = (\frac{180 - x}{2})^{\circ} $，
若 $ \angle A $ 为底角，则 $ \angle B = x^{\circ} $ 或 $ \angle B = (180 - 2x)^{\circ} $，
当 $ \frac{180 - x}{2} \neq 180 - 2x $ 且 $ \frac{180 - x}{2} \neq x $ 且 $ 180 - 2x \neq x $，即 $ x \neq 60 $ 时，$ \angle B $ 有三个不同的度数。
综上，当 $ 0 ＜ x ＜ 90 $ 且 $ x \neq 60 $ 时，$ \angle B $ 有三个不同的度数。

4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$45^{\circ }$,求这个三角形的底角的度数.

答案：
解析 分两种情况：
① 如图，当等腰三角形 $ ABC $ 的顶角 $ \angle BAC $ 是锐角时，$ BD $ 是 $ \triangle ABC $ 的边 $ AC $ 上的高，
∵ $ \angle ABD = 45^{\circ} $，$ \angle ADB = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle A = 90^{\circ} - \angle ABD = 45^{\circ} $，
∵ $ AB = AC $，
∴ $ \angle ABC = \angle C = \frac{1}{2} \times (180^{\circ} - 45^{\circ}) = 67.5^{\circ} $；

② 如图，当等腰三角形 $ ABC $ 的顶角 $ \angle BAC $ 是钝角时，$ CD $ 是 $ \triangle ABC $ 的边 $ BA $ 上的高，
∵ $ \angle ACD = 45^{\circ} $，$ \angle ADC = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle CAD = 90^{\circ} - \angle ACD = 45^{\circ} $，
∵ $ AB = AC $，
∴ $ \angle B = \angle ACB $，
∵ $ \angle CAD = \angle B + \angle ACB = 2 \angle B $，
∴ $ \angle B = 22.5^{\circ} $。

综上，这个三角形的底角的度数是 $ 67.5^{\circ} $ 或 $ 22.5^{\circ} $。

5. 「2025四川成都七中月考」等腰$\triangle ABC$中,$AB= AC$,AB边的垂直平分线交AB于点D,交直线AC于点E,连接BE,若$∠BED= 50^{\circ }$,求$∠ABC$的度数.

答案：
解析 分两种情况：
① 如图 1，
∵ $ DE $ 垂直平分 $ AB $，
∴ $ BE = AE $，$ \angle EDB = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle A = \angle ABE $，
∵ $ \angle BED = 50^{\circ} $，
∴ $ \angle ABE = 40^{\circ} $，
∴ $ \angle A = 40^{\circ} $，
∵ $ AB = AC $，
∴ $ \angle ABC = \angle C = \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle A) = \frac{1}{2} \times (180^{\circ} - 40^{\circ}) = 70^{\circ} $；

② 如图 2，
∵ $ DE $ 垂直平分 $ AB $，
∴ $ BE = AE $，$ \angle EDB = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle EAB = \angle ABE $，
∵ $ \angle BED = 50^{\circ} $，
∴ $ \angle ABE = 40^{\circ} $，
∴ $ \angle EAB = 40^{\circ} $，
∴ $ \angle BAC = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} $，
∵ $ AB = AC $，
∴ $ \angle ABC = \angle C = \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle BAC) = \frac{1}{2} \times (180^{\circ} - 140^{\circ}) = 20^{\circ} $。

综上，$ \angle ABC $ 的度数为 $ 70^{\circ} $ 或 $ 20^{\circ} $。