《2025年5年中考3年模拟八年级数学上册人教版》

9.如图,在△ABC中,AB= 2,∠B= ∠C= 40°,点D在线段BC上运动(D不与B、C重合),连接AD,作∠ADE= 40°,DE交线段AC于点E。
(1)当DC等于2时,△ABD≌△DCE？请写出完整的证明过程。
(2)在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,问当∠BDA等于110°或80°时,△ADE为等腰三角形？

答案： 解析 （1）当DC = 2时，△ABD ≌ △DCE.
证明：
∵∠EDC + ∠EDA = ∠DAB + ∠B, ∠B = ∠EDA = 40°，
∴∠EDC = ∠DAB，
∵∠B = ∠C，
∴当DC = AB = 2时，△ABD ≌ △DCE.
（2）△ADE为等腰三角形时，需分类讨论：
①当AD = AE时，∠ADE = ∠AED = 40°，
∵∠AED ＞ ∠C，
∴此时不符合；
②当DA = DE时，∠DAE = ∠DEA = $\frac{1}{2}$×(180° - 40°) = 70°，
∵∠BAC = 180° - 40° - 40° = 100°，
∴∠BAD = 100° - 70° = 30°，
∴∠BDA = 180° - 30° - 40° = 110°；
③当EA = ED时，∠ADE = ∠DAE = 40°，
∴∠BAD = 100° - 40° = 60°，
∴∠BDA = 180° - 60° - 40° = 80°.
综上，当∠BDA等于110°或80°时，△ADE为等腰三角形.

10.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的特异线,称这个三角形为特异三角形。
(1)如图,在△ABC中,∠B= 2∠C,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,连接AE,求证：AE是△ABC的一条特异线。
(2)若△ABC是特异三角形,∠A= 30°,∠B为钝角,求出所有可能的∠B的度数。

答案：
解析 （1）证明：
∵DE所在直线是线段AC的垂直平分线，
∴EA = EC,
∴△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC = ∠C,
∴∠AEB = ∠EAC + ∠C = 2∠C，
∵∠B = 2∠C,
∴∠AEB = ∠B，
∴AE = AB,
∴△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC的一条特异线.
（2）当BD是特异线时，如图1，若AB = BD = DC，则∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 120° + 15° = 135°；
如图2，若AD = AB, DB = DC，则∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 75° + 37.5° = 112.5°；
如图3，若AD = DB, DC = DB，则∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 30° + 60° = 90°（不合题意，舍去）.
当AD是特异线时，如图4，AB = BD, AD = DC，则∠ABC = 180° - 20° - 20° = 140°.
当CD为特异线时，不合题意.
　

∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°.

1.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于点D,过点D作EF//BC,交AB于E,交AC于F,若BE= 8,CF= 6,则EF的长是______2。

答案： 答案 2
解析
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD = ∠DBC，
∵EF // BC，
∴∠EDB = ∠DBC,
∴∠ABD = ∠EDB,
∴ED = BE = 8，
同理可得FD = CF = 6，
∴EF = ED - FD = 8 - 6 = 2.

2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作EG//AD,交AC于点F,交BA的延长线于点G。
(1)求证：△AFG是等腰三角形。
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠CAD.
∵EG // AD，
∴∠BAD = ∠G, ∠CAD = ∠AFG，
∴∠G = ∠AFG，
∴AG = AF，
∴△AFG是等腰三角形.
(2)若CE= EF,∠BAC= 80°,求∠B的度数。
60°

答案： 解析 （1）证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠CAD.
∵EG // AD，
∴∠BAD = ∠G, ∠CAD = ∠AFG，
∴∠G = ∠AFG，
∴AG = AF，
∴△AFG是等腰三角形.
（2）
∵CE = EF，
∴∠CFE = ∠C.
∵∠AFG = ∠CFE, ∠AFG = ∠CAD，
∴∠C = ∠CAD.
∵∠BAC = 80°, AD平分∠BAC，
∴∠C = ∠CAD = 40°，
∴∠B = 180° - ∠BAC - ∠C = 60°.