《2025年5年中考3年模拟八年级数学上册人教版》

4.新 规律探究 如图1,在$\triangle ABC$中,$BA_{1}平分∠ABC$,$CA_{1}平分∠ACD$,$BA_{1},CA_{1}相交于点A_{1}$.
(1)若$∠A_{1}= 30^{\circ }$,求$∠A$的度数.60°
(2)求证:$∠A_{1}= \frac {1}{2}∠A$.
(3)如图2,继续作$∠A_{1}BC和∠A_{1}CD的平分线交于点A_{2}$,得$∠A_{2}$;作$∠A_{2}BC和∠A_{2}CD的平分线交于点A_{3}$,得$∠A_{3}$;……,依次得到$∠A_{2024}$,若$∠A= α$,则$∠A_{2024}= $$\frac{\alpha}{2^{2024}}$.

答案： 解析
(1) $\because BA_1$ 平分 $\angle ABC, CA_1$ 平分 $\angle ACD$，
$\therefore \angle ABC = 2\angle A_1BC, \angle ACD = 2\angle A_1CD$，
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACD = \angle A + \angle ABC$，
在 $\triangle A_1BC$ 中，$\angle A_1CD = \angle A_1 + \angle A_1BC$，
$\therefore \angle A + \angle ABC = 2(\angle A_1 + \angle A_1BC)$，
整理得 $\angle A = 2\angle A_1, \because \angle A_1 = 30^{\circ}, \therefore \angle A = 60^{\circ}$。
(2) 证明：由
(1) 可知 $\angle A = 2\angle A_1, \therefore \angle A_1 = \frac{1}{2}\angle A$。
(3) $\frac{\alpha}{2^{2024}}$。
详解：由
(2) 得 $\angle A_1 = \frac{1}{2}\angle A$，同理可得，$\angle A_2 = \frac{1}{2}\angle A_1 = \frac{1}{2^2}\angle A, \angle A_3 = \frac{1}{2^3}\angle A, \cdots \cdots, \angle A_n = \frac{1}{2^n}\angle A$，
$\because \angle A = \alpha$，
$\therefore \angle A_{2024} = \frac{\alpha}{2^{2024}}$。

5.「2025山东烟台期中」已知$∠MON$,点$A,B分别在射线ON,OM$上移动(不与点$O$重合),$AD平分∠BAN$,$BC平分∠ABM$,直线$AD,BC相交于点C$.
(1)如图1,若$∠MON= 90^{\circ }$,试猜想$∠ACB$的度数,并说明理由.
猜想：$∠ACB=$$45^{\circ}$
(2)如图2,若$∠MON= α$,问:点$A,B在射线ON,OM$上运动的过程中,$∠ACB$的度数是否改变? 若不改变,求出其值(用含$α$的式子表示);若改变,请说明理由.
答：$∠ACB$的度数不改变，其值为$90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$

答案： 解析
(1) $\angle ACB = 45^{\circ}$。理由：$\because \angle MON = 90^{\circ}, \therefore \angle NAB = \angle AOB + \angle ABO = 90^{\circ} + \angle ABO, \angle ABM = \angle AOB + \angle BAO = 90^{\circ} + \angle BAO, \angle OAB + \angle ABO = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle NAB + \angle MBA = 90^{\circ} + \angle ABO + 90^{\circ} + \angle BAO = 90^{\circ} + 180^{\circ} = 270^{\circ}$，
$\because AD$ 平分 $\angle BAN, BC$ 平分 $\angle ABM$，
$\therefore \angle CAB + \angle CBA = \frac{1}{2} \times 270^{\circ} = 135^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB = 180^{\circ} - (\angle CAB + \angle CBA) = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$。
(2) $\angle ACB$ 的度数不改变。
因为 $AD$ 平分 $\angle BAN, BC$ 平分 $\angle ABM$，
所以 $\angle CAB = \frac{1}{2}\angle BAN, \angle CBA = \frac{1}{2}\angle ABM$。
因为 $\angle BAO + \angle ABO = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - \alpha$，
所以 $\angle CAB + \angle CBA = \frac{1}{2}(\angle BAN + \angle ABM) = \frac{1}{2}[360^{\circ} - (180^{\circ} - \alpha)] = 90^{\circ} + \frac{1}{2}\alpha$，
所以 $\angle ACB = 180^{\circ} - (\angle CAB + \angle CBA) = 90^{\circ} - \frac{1}{2}\alpha$。

6.如图,在$\triangle ABC$中,$BD,CD分别是∠ABC$,$∠ACB$的平分线,$BP,CP分别是∠EBC$,$∠FCB$的平分线.
(1)当$∠ABC= 64^{\circ },∠ACB= 66^{\circ }$时,$∠D=$115$^{\circ }$,$∠P=$65$^{\circ }$.
(2)当$∠A= 56^{\circ }$时,求$∠D,∠P$的度数.
(3)当$∠A$的大小发生变化时,$∠D+∠P$的值是否发生变化? 请说明理由.

答案： 解析
(1) $115; 65$。
详解：$\because BD, CD$ 分别是 $\angle ABC, \angle ACB$ 的平分线，$\angle ABC = 64^{\circ}, \angle ACB = 66^{\circ}$，
$\therefore \angle DBC = \frac{1}{2}\angle ABC = 32^{\circ}, \angle DCB = \frac{1}{2}\angle ACB = 33^{\circ}$，$\angle EBC = 116^{\circ}, \angle FCB = 114^{\circ}$，
$\therefore \angle D = 180^{\circ} - \angle DBC - \angle DCB = 115^{\circ}$。
$\because BP, CP$ 分别是 $\angle EBC, \angle FCB$ 的平分线，
$\therefore \angle CBP = \frac{1}{2}\angle EBC = 58^{\circ}, \angle BCP = \frac{1}{2}\angle FCB = 57^{\circ}$，
$\therefore \angle P = 180^{\circ} - \angle CBP - \angle BCP = 65^{\circ}$。
(2) 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - \angle A$，
$\because BD, CD$ 分别是 $\angle ABC, \angle ACB$ 的平分线，
$\therefore \angle DBC = \frac{1}{2}\angle ABC, \angle DCB = \frac{1}{2}\angle ACB$，
$\therefore \angle D = 180^{\circ} - (\angle DBC + \angle DCB) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A) = 90^{\circ} + \frac{1}{2}\angle A$，
$\because \angle A = 56^{\circ}, \therefore \angle D = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \times 56^{\circ} = 118^{\circ}$。
$\because BP, CP$ 分别是 $\angle EBC, \angle FCB$ 的平分线，
$\therefore \angle CBP + \angle BCP = \frac{1}{2}\angle EBC + \frac{1}{2}\angle FCB = \frac{1}{2}(\angle EBC + \angle FCB) = \frac{1}{2}(\angle A + \angle ACB + \angle A + \angle ABC) = \frac{1}{2}(180^{\circ} + \angle A) = 90^{\circ} + \frac{1}{2}\angle A$，
$\therefore \angle P = 180^{\circ} - (\angle CBP + \angle BCP) = 90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle A = 90^{\circ} - 28^{\circ} = 62^{\circ}$。
(3) $\angle D + \angle P$ 的值不变。理由如下：
由
(2) 知 $\angle D = 90^{\circ} + \frac{1}{2}\angle A, \angle P = 90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle A$，
$\therefore \angle D + \angle P = 180^{\circ}$，
$\therefore$ 当 $\angle A$ 的大小发生变化时，$\angle D + \angle P$ 的值不变。