《2025年5年中考3年模拟八年级数学上册人教版》

11.多解法「2024陕西延安月考」给等式中的某些字母赋予一定的特殊值,可以解决一些问题.比如对于等式$(x + 3)^2 = ax^2 + bx + c$,当$x = 0$时,可得$3^2 = c$,计算得$c = 9$.请你再给x赋不同的值,可计算得$4a + 2b = $ ______16.

答案： 答案 16
解析 【解法一】当$x = 2$时, $(2 + 3)^2 = a×2^2 + b×2 + c$, 化简得$4a + 2b + c = 25$, $\because c = 9$, $\therefore 4a + 2b = 16$.
【解法二】因为$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 = ax^2 + bx + c$, 所以$a = 1$, $b = 6$, 所以$4a + 2b = 4×1 + 2×6 = 16$.

12.先化简,再求值:
$[(2x + y)^2 + (y + 2x)(y - 2x) - 2y(4x - y)] ÷ 4y$,
其中$x = 2026$,$y = 2025$. -1

答案： 解析 $[(2x + y)^2 + (y + 2x)(y - 2x) - 2y(4x - y)] ÷ 4y$
$= (4x^2 + 4xy + y^2 + y^2 - 4x^2 - 8xy + 2y^2) ÷ 4y$
$= (-4xy + 4y^2) ÷ 4y = -x + y$,
当$x = 2026$, $y = 2025$时, 原式$= -2026 + 2025 = -1$.

13.「2025山西太原三十六中月考」解下列方程或不等式:
(1)$(2x - 1)^2 = 4(x - 2)(x + 2)$
(2)$(3x - 1)^2 - (2x - 1)^2 ＞ 5(x - 1)(x + 1)$

答案： 解析
(1) 因为$(2x - 1)^2 = 4(x - 2)(x + 2)$,
所以$4x^2 - 4x + 1 = 4(x^2 - 4)$,
所以$4x^2 - 4x + 1 = 4x^2 - 16$,
所以$-4x = -17$, 解得$x = \frac{17}{4}$.
(2) 因为$(3x - 1)^2 - (2x - 1)^2 ＞ 5(x - 1)(x + 1)$,
所以$9x^2 - 6x + 1 - (4x^2 - 4x + 1) ＞ 5(x^2 - 1)$,
所以$9x^2 - 6x + 1 - 4x^2 + 4x - 1 ＞ 5x^2 - 5$,
所以$-2x ＞ -5$,
解得$x ＜ \frac{5}{2}$.
解题策略 利用乘法公式解方程或不等式(组)的解题思路
解涉及乘法公式的方程或不等式(组)的题目时, 要先运用平方差公式或完全平方公式将原方程或原不等式(组)化简, 再求解.

14.新运算能力 「2025广东佛山调研」
(1)从图1~3中任意选择一个,通过计算图中阴影部分的面积,可得到关于a,b的等量关系是$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$（或$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$或$4ab = (a + b)^2 - (a - b)^2$）.
(2)尝试解决:
①若$m + n = 3$,$m^2 + n^2 = 8$,则$mn = $$\frac{1}{2}$.
②若$a - 3b = 3$,$ab = 2$,求$(a + 3b)^2$的值.
③若$(7 - x)(8 - x) = 6$,求$(7 - x)^2 + (8 - x)^2$的值.
(3)填数游戏:如图4,把数字1~9填入构成三角形形状的9个圆圈中,使得各边上的四个数字的和都等于17,将每边四个数字的平方和分别记为A,B,C,已知$A + B + C = 299$.如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为x,y,$x + y$,求xy的值.2

答案： 解析
(1) 题图1: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$; 题图2: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$; 题图3: $4ab = (a + b)^2 - (a - b)^2$. (填一个即可)
(2) ①$\because m + n = 3$, $\therefore (m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 9$,
$\because m^2 + n^2 = 8$, $\therefore 8 + 2mn = 9$, $\therefore mn = \frac{1}{2}$.
故答案为$\frac{1}{2}$.
②$\because (a + 3b)^2 = (a - 3b)^2 + 12ab$, $a - 3b = 3$, $ab = 2$,
$\therefore (a + 3b)^2 = 3^2 + 24 = 33$.
③$\because (7 - x) - (8 - x) = -1$,
$\therefore [(7 - x) - (8 - x)]^2 = 1$,
$\because (7 - x)(8 - x) = 6$,
$\therefore (7 - x)^2 + (8 - x)^2 = 1 + 2(7 - x)(8 - x) = 1 + 12 = 13$.
(3) 数字$1～9$的和为$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$,
$\because$ 各边上的四个数字的和都等于$17$, $17×3 - 45 = 6$,
$\therefore x + y + (x + y) = 6$, 即$x + y = 3$,
$\because$ 每边四个数字的平方和分别记为$A$, $B$, $C$, 满足$A + B + C = 299$, 且$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 = 285$,
$\therefore x^2 + y^2 + (x + y)^2 = 299 - 285$,
$\therefore x^2 + y^2 + 9 = 299 - 285$, $\therefore x^2 + y^2 = 5$,
$\therefore (x + y)^2 - 2xy = 5$, $\therefore xy = 2$.

1.「2025河南南阳期末」已知$(x + y)^2 = 25$,$(x - y)^2 = 9$,则xy,$x^2 + y^2$的值分别为4, 17.

答案： 答案 4, 17
解析 $\because (x + y)^2 = 25$, $(x - y)^2 = 9$,
$\therefore xy = \frac{1}{4}[(x + y)^2 - (x - y)^2] = \frac{1}{4}×(25 - 9) = 4$,
$x^2 + y^2 = \frac{1}{2}[(x + y)^2 + (x - y)^2] = \frac{1}{2}×(25 + 9) = 17$.

2.「2025山西吕梁期末」已知$x^4 + \frac{1}{x^4} = 14$,则$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值为4.

答案： 答案 4
解析 $\because x^4 + \frac{1}{x^4} = 14$, $\therefore (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = x^4 + \frac{1}{x^4} + 2 = 14 + 2 = 16$, $\therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$(负值舍去).

3.「2025广东广州期末」如图,以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形,设计出“中”字图案,若四个正方形的周长之和为40,面积之和为26,则长方形ABCD的面积为______6.

答案： 答案 6
解析 设$AB = a$, $AD = b$,
$\because$ 四个正方形的周长之和为$40$, 面积之和为$26$,
$\therefore 4a·2 + 4b·2 = 40$, $2a^2 + 2b^2 = 26$,
$\therefore a + b = 5$, $a^2 + b^2 = 13$,
$\therefore 2ab = (a + b)^2 - (a^2 + b^2) = 25 - 13 = 12$,
$\therefore ab = 6$, $\therefore$ 长方形$ABCD$的面积为$6$.