《2025年5年中考3年模拟八年级数学上册人教版》

1.计算$(x + 2y)^2$= (A)
A.$x^2 + 4xy + 4y^2$
B.$x^2 + 2xy + 4y^2$
C.$x^2 + 4xy + 2y^2$
D.$x^2 + 4y^2$

答案： A 利用完全平方公式计算. $(x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$. 故选A.

2.「2025浙江杭州质检」下列运算:
①$(3x + y)^2 = 9x^2 + y^2$;
②$(a - 2b)^2 = a^2 - 4b^2$;
③$(-x - y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$;
④$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = x^2 - 2x + \frac{1}{4}$.
其中,运算错误的有 (C)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： C ①$(3x + y)^2 = 9x^2 + 6xy + y^2$, 故①运算错误; ②$(a - 2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2$, 故②运算错误; ③$(-x - y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, 故③运算正确; ④$(x - \frac{1}{2})^2 = x^2 - x + \frac{1}{4}$, 故④运算错误. 所以运算错误的有①②④, 共3个. 故选C.

3.新考向 设a,b是实数,定义Φ的一种运算如下:$aΦb= (a + b)^2 - (a - b)^2$,则下列结论中不正确的是 (B)
A.$aΦb = bΦa$
B.若$aΦb = 0$,则$a = 0且b = 0$
C.若$aΦb = (-a)Φb$,则$a = 0或b = 0$
D.若$aΦ(b + c) = aΦb + aΦc$

答案： B $\because a\varPhi b = (a + b)^2 - (a - b)^2$, $b\varPhi a = (b + a)^2 - (b - a)^2 = (a + b)^2 - (a - b)^2$, $\therefore a\varPhi b = b\varPhi a$, $\therefore$ 选项A结论正确; $\because a\varPhi b = (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab = 0$, $\therefore a = 0$或$b = 0$, $\therefore$ 选项B结论错误; $\because a\varPhi b = (a + b)^2 - (a - b)^2$, $(-a)\varPhi b = (-a + b)^2 - (-a - b)^2 = (a - b)^2 - (a + b)^2$, $a\varPhi b = (-a)\varPhi b$, $\therefore (a + b)^2 - (a - b)^2 = (a - b)^2 - (a + b)^2$, $\therefore (a - b)^2 = (a + b)^2$, $\therefore a - b = a + b$或$a - b = -a - b$, $\therefore b = 0$或$a = 0$, $\therefore$ 选项C结论正确; $\because a\varPhi (b + c) = (a + b + c)^2 - (a - b - c)^2 = 4a(b + c)$, $a\varPhi b + a\varPhi c = (a + b)^2 - (a - b)^2 + (a + c)^2 - (a - c)^2 = 4ab + 4ac = 4a(b + c)$, $\therefore a\varPhi (b + c) = a\varPhi b + a\varPhi c$, $\therefore$ 选项D结论正确. 故选B.

4.如图,两个阴影部分都是正方形,用两种方式表示这两个正方形的面积和,可以得到的等式为$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$.

答案： 答案 $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
解析 两个阴影部分的面积和可以表示为$a^2 + b^2$, 也可以表示为$(a + b)^2 - 2ab$, $\therefore$ 可以得到等式$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$.

5.计算:
(1)$(2a + 5b)^2$
(2)$\left(\frac{1}{2}x - 2y\right)^2$
(3)$(-4a + 3b)^2$
(4)$(-x - y)^2$

答案： 解析
(1) 原式$= 4a^2 + 20ab + 25b^2$.
(2) 原式$= \frac{1}{4}x^2 - 2xy + 4y^2$.
(3) 原式$= (3b - 4a)^2 = 9b^2 - 24ab + 16a^2$.
(4) 原式$= (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

6.教材 运用完全平方公式计算:
(1)$201^2$
(2)$99.8^2$

答案： 解析
(1) $201^2 = (200 + 1)^2 = 40000 + 400 + 1 = 40401$.
(2) $99.8^2 = (100 - 0.2)^2$
$= 10000 - 40 + 0.04$
$= 9960.04$.

7.「2025河南驻马店期末」已知$x + y = 4$,$xy = 2$,求下列各式的值:
(1)$x^2 + y^2$ = 12
(2)$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ = 6

答案： 解析
(1) $\because x + y = 4$, $xy = 2$,
$\therefore x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 4^2 - 2×2 = 16 - 4 = 12$.
(2) 由
(1)知$x^2 + y^2 = 12$,
$\because xy = 2$, $\therefore \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y^2 + x^2}{xy} = \frac{12}{2} = 6$.

8.「2025福建厦门月考」如图,某中学校园内有一块长为$(4a + b)$米,宽为$(3a + b)$米的长方形地块,学校计划在中间留一块边长为$(a + b)$米的正方形地块修建一座雕像,然后将阴影部分进行绿化.
(1)求绿化部分的面积(用含a,b的代数式表示).
绿化部分的面积为$11a^2 + 5ab$平方米.
(2)当$a = 3$,$b = 2$时,求绿化部分的面积.
绿化部分的面积为129平方米.

答案： 解析
(1) 根据题意可得绿化部分的面积$= (4a + b)·(3a + b) - (a + b)^2 = (11a^2 + 5ab)$平方米.
(2) 当$a = 3$, $b = 2$时, 绿化部分的面积$= 11a^2 + 5ab = 11×3^2 + 5×3×2 = 129$(平方米).

9.「2025安徽芜湖期末」已知$a^2 + b^2 = 16$,且$\frac{1}{2}ab = -3$,则$a + b$的值是 (D)
A.4
B.±4
C.2
D.±2

答案： D $\because \frac{1}{2}ab = -3$, $\therefore ab = -6$, $\because a^2 + b^2 = 16$, $\therefore (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 16 - 12 = 4$, 则$a + b = ±2$, 故选D.

10.「2025重庆八中月考」设$a = x - 2024$,$b = x - 2026$,$c = x - 2025$,若$a^2 + b^2 = 56$,则$c^2$= (27)
A.27
B.24
C.22
D.20

答案： A $\because a = x - 2024$, $b = x - 2026$, $c = x - 2025$, $\therefore a = c + 1$, $b = c - 1$, $\because a^2 + b^2 = 56$, $\therefore (c + 1)^2 + (c - 1)^2 = 56$,
$\therefore c^2 = 27$.
故选A.