《2025年5年中考3年模拟八年级数学上册人教版》

1.「2025山东烟台期末」下面是某同学对多项式$(x^{2}-4x)(x^{2}-4x+8)+16$进行因式分解的过程.
解:设$x^{2}-4x= m,$
则原式$=m(m+8)+16= m^{2}+8m+16= (m+4)^{2}$
$=(x^{2}-4x+4)^{2}= [(x-2)^{2}]^{2}= (x-2)^{4}.$
请根据上述材料将下列多项式进行因式分解:
(1)$(x^{2}-2x)(x^{2}-2x+2)+1.$
解:设$x^{2}-2x = n$，
则原式$=n(n + 2) + 1 = n^{2} + 2n + 1 = (n + 1)^{2}$
$=(x^{2}-2x + 1)^{2}= [(x - 1)^{2}]^{2}=$$(x - 1)^{4}$.
(2)$(4a^{2}-12a+6)(4a^{2}-12a+12)+9.$
解:设$4a^{2}-12a = b$，
则原式$=(b + 6)(b + 12) + 9$
$=b^{2} + 18b + 72 + 9$
$=b^{2} + 18b + 81$
$=(b + 9)^{2}$
$=(4a^{2}-12a + 9)^{2}$
$=[(2a - 3)^{2}]^{2}=$$(2a - 3)^{4}$.

答案： 解析
(1) 设 $ x^{2}-2x = n $，
则 $ (x^{2}-2x)(x^{2}-2x + 2) + 1 $
$ = n(n + 2) + 1 = n^{2} + 2n + 1 = (n + 1)^{2} $
$ = (x^{2}-2x + 1)^{2} = [(x - 1)^{2}]^{2} = (x - 1)^{4} $。
(2) 设 $ 4a^{2}-12a = b $，
则 $ (4a^{2}-12a + 6)(4a^{2}-12a + 12) + 9 $
$ = (b + 6)(b + 12) + 9 $
$ = b^{2} + 18b + 72 + 9 $
$ = b^{2} + 18b + 81 $
$ = (b + 9)^{2} $
$ = (4a^{2}-12a + 9)^{2} $
$ = [(2a - 3)^{2}]^{2} $
$ = (2a - 3)^{4} $。

2.「2025河南驻马店期中」阅读:用“十字相乘法”分解因式$2x^{2}-x-3$的方法.
二次项系数$2= 1×2.$
常数项$-3= -1×3= 1×(-3)$,验算:“交叉相乘之和”.

①$1×3+2×(-1)= 1$,②$1×(-1)+2×3= 5,$
③$1×(-3)+2×1= -1$,④$1×1+2×(-3)= -5.$
发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数-1,即$(x+1)(2x-3)= 2x^{2}-3x+2x-3= 2x^{2}-x-3$,则$2x^{2}-x-3= (x+1)(2x-3).$
像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫作十字相乘法.
仿照所给方法,分解因式:
(1)$x^{2}+8x+15=$$(x + 3)(x + 5)$.
(2)$3x^{2}-5x-12=$$(3x + 4)(x - 3)$.
(3)$3(x+2)^{2}-5(x+2)-12=$$(3x + 10)(x - 1)$.

答案： 解析
(1) $ x^{2} + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) $。
(2) $ 3x^{2}-5x - 12 = (3x + 4)(x - 3) $。
(3) $ 3(x + 2)^{2}-5(x + 2) - 12 $
$ = [3(x + 2) + 4][(x + 2) - 3] $
$ = (3x + 10)(x - 1) $。

3.「2025江西南昌模拟」在对某些多项式进行因式分解时,需要把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符号相反的项,这样分解因式的方法称为拆项添项法.如:
例1:分解因式:$x^{4}+4.$
解:原式$=x^{4}+4x^{2}+4-4x^{2}= (x^{2}+2)^{2}-4x^{2}$
$=(x^{2}-2x+2)(x^{2}+2x+2).$
例2:分解因式:$x^{3}+5x-6.$
解:原式$=x^{3}-x+6x-6$
$=x(x^{2}-1)+6(x-1)= (x-1)(x^{2}+x+6).$
请根据以上材料中的方法,解决下列问题:
(1)分解因式:$x^{2}+16x-36=$$(x + 18)(x - 2)$.
(2)运用拆项添项法分解因式:
①$x^{4}+4y^{4}=$$(x^{2} + 2xy + 2y^{2})(x^{2}-2xy + 2y^{2})$.
②$x^{3}-x^{2}-4=$$(x - 2)(x^{2} + x + 2)$.

答案： 解析
(1) $ x^{2} + 16x - 36 $
$ = x^{2} + 16x + 64 - 64 - 36 $
$ = (x + 8)^{2}-100 $
$ = (x + 8 + 10)(x + 8 - 10) $
$ = (x + 18)(x - 2) $，
故答案为 $ (x + 18)(x - 2) $。
(2) ① $ x^{4} + 4y^{4} $
$ = x^{4} + 4x^{2}y^{2} + 4y^{4}-4x^{2}y^{2} $
$ = (x^{2} + 2y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2} $
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(2)①]
$ = (x^{2} + 2xy + 2y^{2})(x^{2}-2xy + 2y^{2}) $。
② $ x^{3}-x^{2}-4 = x^{3}-2x^{2} + x^{2}-4 $
$ = x^{2}(x - 2) + (x + 2)(x - 2) $
$ = (x - 2)(x^{2} + x + 2) $。