《2025年5年中考3年模拟八年级数学上册人教版》

10. 新考向 尺规作图 如图,在 $ \triangle ABC $中,$ AB = AC $,$ \angle A = 36^{\circ} $,点 $ D、P $分别是图中所作直线和射线与 $ AB、CD $的交点.根据图中尺规作图的痕迹推断,$ \angle BPC = $______108$^{\circ} $.

答案： 10.答案 108
解析
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$×(180°−36°)=72°，根据作图痕迹可知BP平分∠ABC，点D是AC的垂直平分线上的点，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°，DA=DC，
∴∠DCA=∠A=36°，
∴∠DCB=72°−36°=36°，
∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠DCB)=180°−72°=108°。故答案为108。

11. 「2025 广东佛山期末」如图,在 $ \triangle ABC $中,$ \angle C = 30^{\circ} $,点 $ D $是 $ AC $的中点,$ DE \perp AC $交 $ BC $于 $ E $,点 $ O $在 $ DE $上,$ OA = OB $,$ OD = 1 $,$ OE = 2 $,则 $ BE $的长为______.

答案：
11.答案 4
解析 如图，连接OC，作OF⊥BC于点F，
∵OD=1，OE=2，
∴DE=OD + OE = 3，
∵在Rt△CDE中，∠DCE = 30°，
∴CE=2DE = 6，∠OEF = 60°，
∵AD = DC，ED⊥AC，
∴OA = OC，
∵OA = OB，
∴OB = OC，
∵OF⊥BC，
∴CF = FB，
∵在Rt△OFE中，∠OEF = 60°，
∴∠EOF = 30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$OE = 1，
∴CF = CE - EF = 5，
∴BC = 10，
∴BE = 10 - 6 = 4，故答案为4。

12. 「2025 山东青岛期末」如图,$ \angle AOB = 60^{\circ} $,$ C $是 $ BO $延长线上的一点,$ OC = 10 \text{ cm} $,动点 $ P $从点 $ C $出发沿 $ CB $以 $ 2 \text{ cm/s} $的速度移动,动点 $ Q $从点 $ O $出发沿 $ OA $以 $ 1 \text{ cm/s} $的速度移动,如果点 $ P、Q $同时出发,用 $ t(\text{s}) $表示移动的时间,当 $ t = $$\frac{10}{3}$ 或10时,$ \triangle POQ $是等腰三角形.

答案： 12.答案 $\frac{10}{3}$ 或10
解析 分两种情况：
(1)当点P在线段OC上，△POQ是等腰三角形时，有OP=OC−CP=OQ，即10−2t=t，解得t=$\frac{10}{3}$；
(2)当点P在CO的延长线上，△POQ是等腰三角形时，
∵∠AOB = 60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP=OQ，即2t−10=t，解得t = 10。故答案为$\frac{10}{3}$或10。

13. (12 分)如图,在平面直角坐标系中,$ A(-2,2) $,$ B(-4,-2) $.
(1) 用无刻度直尺作出线段 $ AB $的垂直平分线.
(2) 将点 $ B $先向右平移 9 个单位,再向上平移 1 个单位得到点 $ C $,则点 $ C $的坐标为______.
(3) 点 $ D $与点 $ A $关于 $ y $轴对称,在直角坐标系中找一点 $ P $,使它到 $ A,D,C $三点的距离相等,则 $ P $点坐标为______,并将点 $ P $在图中表示出来.

答案：
13.解析
(1)如图，直线EF即为所求。
(2)(5,−1)。
(3)由题意知点P为线段AD，CD的垂直平分线的交点，如图，点P的坐标为(0,−3)。

14. 「2025 江西南昌期末」(14 分)在 $ \triangle ABC $中,点 $ E、F $分别是边 $ AC、AB $上的点,且 $ AE = AF $,连接 $ BE、CF $交于点 $ D $,$ \angle ABE = \angle ACF $.
(1) 求证:$ \triangle BCD $是等腰三角形.
证明：∵∠A=∠A，∠ABE=∠ACF，AE = AF，∴△ABE≌△ACF(AAS)，∴AB = AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC−∠ABE=∠ACB−∠ACF，即∠DBC=∠DCB，∴△BCD是等腰三角形。
(2) 若 $ \angle A = 38^{\circ} $,$ BC = BD $,求 $ \angle BEC $的度数.
49°

答案： 14.解析
(1)证明：
∵∠A=∠A，∠ABE=∠ACF，AE = AF，
∴△ABE≌△ACF(AAS)，
∴AB = AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC−∠ABE=∠ACB−∠ACF，即∠DBC=∠DCB，
∴△BCD是等腰三角形。
(2)
∵AB = AC，∠A = 38°，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$×(180°−38°)=71°，
∵BC = BD，
∴∠BDC=∠BCD，由
(1)知∠DBC=∠DCB，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠DBC = 60°，
∴∠ABE = 11°，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=38°+11°=49°。

15. 「2025 广东广州华侨外国语学校期末」(14 分) 如图,在 $ \triangle ABC $中,$ AB = AC $,$ AD $是 $ AC $右侧的线段,且 $ AD = AC $,$ \angle CAD $的平分线 $ AE $与 $ BD $交于点 $ E $,$ BD $与 $ AC $交于点 $ F $.
(1) 求证:$ \angle BAC = \angle BEC $.
(2) 若 $ \angle ABC = 60^{\circ} $,则线段 $ AE,CE,BE $之间存在怎样的数量关系? 并写出你的理由.

答案：
15.解析
(1)证明：
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠DAE，又
∵AD = AC，AE = AE，
∴△ACE≌△ADE(SAS)，
∴∠D=∠ACE，
∵AD = AC，AB = AC，
∴AB = AD，
∴∠D=∠ABD，
∴∠ABD=∠ACE，又
∵∠CFE=∠AFB，
∴∠BAC=∠BEC。
(2)BE = AE + CE。理由：如图，在EB上截取EM = EC，连接MC，

∵∠ABC = 60°，AB = AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠BEC = 60°，又
∵CE = EM，
∴△CEM为等边三角形，
∴CM = CE，∠ECM = 60°，又
∵∠ACB = 60°，
∴∠BCM=∠ACE，
∵BC = AC，
∴△BCM≌△ACE(SAS)，
∴BM = AE，
∴BE = BM + ME = AE + CE。