《2025年5年中考3年模拟八年级数学上册人教版》

12.「2024 四川遂宁中考, ★☆」下列运算结果正确的是 (D)
A. $3a - 2a = 1$
B. $a^{2}·a^{3} = a^{6}$
C. $(-a)^{4} = -a^{4}$
D. $(a + 3)(a - 3) = a^{2} - 9$

答案： D 因为$3a - 2a = a$，$a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$，$(-a)^{4} = a^{4}$，$(a + 3) \cdot (a - 3) = a^{2} - 9$，所以A、B、C选项错误；D选项正确.故选D.

13.「2024 山东菏泽期末, ★☆」从前,一位地主把一块边长为 $a$ 米 $(a ＞ 6)$ 的正方形土地租给租户张老汉.第二年,他对张老汉说:“我把这块地的一边增加 6 米,相邻的另一边减少 6 米,变成长方形土地继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何?”如果这样,你觉得张老汉的租地面积会 (C)
A. 没有变化
B. 变大了
C. 变小了
D. 无法确定

答案： C 根据题意，得原来土地的面积为$a^{2}$平方米，变成长方形土地后的面积为$(a + 6)(a - 6) = (a^{2} - 36)$平方米.因为$(a^{2} - 36) - a^{2} = -36 ＜ 0$，所以张老汉的租地面积变小了.

14.「2025 贵州毕节期末, ★☆」如图,点 $D, C, H, G$ 分别在长方形 $ABJI$ 的边上,点 $E, F$ 在 $CD$ 上,若正方形 $ABCD$ 的面积等于 10,图中阴影部分的面积和为 4,则正方形 $EFGH$ 的面积为 (C)

A. 3
B. 2.5
C. 2
D. 1.5

答案： C 设正方形ABCD、正方形EFGH的边长分别为a、b，则有$a^{2} = 10$，阴影部分面积和为$\frac{1}{2} \times (a + b)(a - b) = 4$，$\therefore a^{2} - b^{2} = 8$，$\therefore b^{2} = 2$，$\therefore$正方形EFGH的面积是2.故选C.

15. 新 代数推理「2025 重庆南开中学月考, ★☆」下列选项中,对于任意的整数 $n$,能整除 $(n + 3)(n - 3) - (n + 2)(n - 2)$ 的整数是 (C)
A. 4
B. 3
C. 5
D. 2

答案： C $(n + 3)(n - 3) - (n + 2)(n - 2) = n^{2} - 9 - (n^{2} - 4) = n^{2} - 9 - n^{2} + 4 = -5$，则对于任意的整数n，5能整除$(n + 3)(n - 3) - (n + 2)(n - 2)$.故选C.

16.「2025 山东青岛二中期中, ★☆」$3(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1$ 计算结果的个位数字是 (B)
A. 4
B. 6
C. 2
D. 8

答案： B $3(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1$
$= (2^{2} - 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1$
$= (2^{4} - 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1$
$= (2^{8} - 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1$
$= (2^{16} - 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1$
$= (2^{32} - 1)(2^{32} + 1) + 1 = 2^{64} - 1 + 1 = 2^{64}$，$2^{1} = 2$，$2^{2} = 4$，$2^{3} = 8$，$2^{4} = 16$，$2^{5} = 32$，$2^{6} = 64$，$2^{7} = 128$，$2^{8} = 256$，……，以此类推，$2^{1}$，$2^{2}$，$2^{3}$，$2^{4}$，$2^{5}$，$2^{6}$，…的个位数字以2，4，8，6为一组循环，$\because 64 \div 4 = 16$，$\therefore 2^{64}$的个位数字为6，即原式计算结果的个位数字是6.故选B.

17.「★☆」如图所示的是一道例题及部分解答过程,其中 $A, B$ 是两个关于 $x, y$ 的二项式.

请仔细观察例题及解答过程,解答下列问题:
(1) 直接写出多项式 $A$ 和 $B$,并求出该例题的运算结果. $A=$$2x - 3y$，$B=$$2x + 3y$，运算结果为$-2x - 15y$.
(2) 求多项式 $A$ 与 $B$ 的平方差. $-24xy$.

答案： 解析
(1)$A = 2x - 3y$，$B = 2x + 3y$，
原式$= 4x - 6y - 6x - 9y = -2x - 15y$.
(2)$A^{2} - B^{2} = (2x - 3y)^{2} - (2x + 3y)^{2} = (2x - 3y + 2x + 3y) \cdot (2x - 3y - 2x - 3y) = 4x \cdot (-6y) = -24xy$.

18. 新 运算能力 乘法公式的探究与应用:
(1) 如图甲,边长为 $a$ 的大正方形中有一个边长为 $b$ 的小正方形,则阴影部分的面积是$a^{2} - b^{2}$.
(2) 小颗将阴影部分裁下来,重新拼成一个长方形,如图乙,则长方形的长是$a + b$,宽是$a - b$,面积是$(a + b)(a - b)$(写成多项式乘法的形式).
(3) 比较甲、乙两图阴影部分的面积,可以得到恒等式:$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$.
(4) 运用你所得到的公式计算:$10.3×9.7$=99.91.
(5) 若 $49x^{2} - y^{2} = 25,7x - y = 5$, 则 $7x + y$ 的值为5.

答案： 解析
(1)阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积$= a^{2} - b^{2}$.故答案为$a^{2} - b^{2}$.
(2)长方形的长是$a + b$，宽是$a - b$，面积=长×宽$= (a + b)(a - b)$.故答案为$a + b$；$a - b$；$(a + b)(a - b)$.
(3)由
(1)
(2)可得$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$.
(4)$10.3 \times 9.7 = (10 + 0.3) \times (10 - 0.3) = 10^{2} - 0.3^{2} = 100 - 0.09 = 99.91$.
(5)$\because 49x^{2} - y^{2} = 25$，$\therefore (7x + y)(7x - y) = 25$.
$\because 7x - y = 5$，$\therefore (7x + y) \times 5 = 25$，$\therefore 7x + y = 5$.
故答案为5.