《2025年5年中考3年模拟八年级数学上册人教版》

1.「2025重庆育才中学期中」如图,在△DBC中,DB= DC,A为△DBC外一点,且∠BAC= ∠BDC,DM⊥AC于M。
(1)求证：AD平分△ABC的外角。
(2)判断AM,AC,AB有怎样的数量关系,并证明你的结论。

答案：
解析
(1) 证明: 如图, 设 $ AC $ 与 $ BD $ 交于点 $ O $, 作 $ DN \perp BA $ 交 $ BA $ 的延长线于点 $ N $.
$ \because \angle BAO = \angle ODC, \angle AOB = \angle DOC $,
$ \therefore \angle ABO = \angle DCO $,
$ \because DM \perp AC, DN \perp AE $,
$ \therefore \angle DNB = \angle DMC = 90^\circ $,
$ \because DB = DC, \therefore \triangle DNB \cong \triangle DMC (AAS) $,
$ \therefore DN = DM, \because DM \perp AC, DN \perp AE, \therefore AD $ 平分 $ \angle EAC $,
$ \therefore AD $ 平分 $ \triangle ABC $ 的外角.

(2) 结论: $ AC - AB = 2AM $.
证明: 如图, $ \because DN = DM, DA = DA, \angle DNA = \angle DMA = 90^\circ $,
$ \therefore \text{Rt} \triangle DNA \cong \text{Rt} \triangle DMA (HL), \therefore AN = AM $,
$ \because \triangle DNB \cong \triangle DMC, \therefore BN = CM $,
$ \therefore AC - AB = AM + CM - (BN - AN) = 2AM $.

2.学科多解法「2025河南驻马店月考」如图,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证：BC= AB+CD。

答案：
证明 【证法一】截长法: 如图, 在 $ BC $ 上截取 $ BF $, 使 $ BF = AB $, 连接 $ EF $.
$ \because BE $ 平分 $ \angle ABC, CE $ 平分 $ \angle BCD $,
$ \therefore \angle ABE = \angle FBE, \angle FCE = \angle DCE $.
在 $ \triangle ABE $ 和 $ \triangle FBE $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { AB = FB, } \\ { \angle ABE = \angle FBE, } \\ { BE = BE, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ABE \cong \triangle FBE (SAS), \therefore \angle A = \angle BFE $.
$ \because AB // CD, \therefore \angle A + \angle D = 180^\circ, \therefore \angle BFE + \angle D = 180^\circ $.
$ \because \angle BFE + \angle CFE = 180^\circ, \therefore \angle CFE = \angle D $.
在 $ \triangle FCE $ 和 $ \triangle DCE $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { \angle CFE = \angle D, } \\ { \angle FCE = \angle DCE, } \\ { CE = CE, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle FCE \cong \triangle DCE (AAS), \therefore CF = CD $,
$ \therefore BC = BF + CF = AB + CD $.

【证法二】补短法: 如图, 延长 $ CD $ 至点 $ F $, 使 $ CF = BC $, 连接 $ EF $.
$ \because CE $ 平分 $ \angle BCD $,
$ \therefore \angle BCE = \angle FCE $.
在 $ \triangle BCE $ 和 $ \triangle FCE $ 中,
$ \left\{ \begin{array} { l } { BC = FC, } \\ { \angle BCE = \angle FCE, } \\ { CE = CE, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle BCE \cong \triangle FCE (SAS), \therefore BE = FE, \angle CBE = \angle F $.
$ \because BE $ 平分 $ \angle ABC, \therefore \angle ABE = \angle CBE, \therefore \angle ABE = \angle F $.
$ \because AB // CD, \therefore \angle A = \angle EDF $.
在 $ \triangle ABE $ 和 $ \triangle DFE $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { \angle A = \angle EDF, } \\ { \angle ABE = \angle F, } \\ { BE = FE, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ABE \cong \triangle DFE (AAS), \therefore AB = DF $,
$ \therefore BC = CF = DF + CD = AB + CD $.

3.「2025四川攀枝花期中」
(1)如图1,AD是△ABC的中线,且AB＞AC,延长AD至点E,使ED= AD,连接BE,可证得△ADC≌△EDB,其中判定全等的依据为______。
(2)如图2,AD是△ABC的中线,点E在BC的延长线上,CE= AB,∠BAC= ∠BCA,求证：AE= 2AD。

答案：
解析
(1) 在 $ \triangle ADC $ 和 $ \triangle EDB $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { AD = DE, } \\ { \angle ADC = \angle BDE, } \\ { CD = BD, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ADC \cong \triangle EDB (SAS) $,
故答案为 $ SAS $.
(2) 证明: 如图, 延长 $ AD $ 至 $ M $, 使 $ DM = AD $, 连接 $ CM $,
$ \because AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线,
$ \therefore DB = CD $, 又 $ \angle ADB = \angle MDC $,
$ AD = DM $,
$ \therefore \triangle ABD \cong \triangle MCD (SAS) $,
$ \therefore MC = AB, \angle B = \angle MCD $,
$ \because AB = CE $,
$ \therefore CM = CE $,
$ \because \angle BAC = \angle BCA $,
$ \therefore \angle B + \angle BAC = \angle MCD + \angle ACB $,
$ \therefore \angle ACM = \angle ACE $, 又 $ AC = AC, CM = CE $,
$ \therefore \triangle ACM \cong \triangle ACE (SAS) $.
$ \therefore AE = AM $,
$ \because AM = 2AD $,
$ \therefore AE = 2AD $.