《2025年5年中考3年模拟八年级数学上册人教版》

1. 如图,$AE = AB$,$AC = AF$,$∠BAE = ∠CAF = 90^{\circ}$,$EC$,$BF相交于点M$。
(1) 求证：$EC = BF$。
(2) 求证：$EC ⊥ BF$。
(3) 若将条件$∠BAE = ∠CAF = 90^{\circ}改为∠BAE = ∠CAF = m^{\circ}$,则(1)(2)中的结论还成立吗？(1)中的结论____,(2)中的结论____(填“成立”或“不成立”)。

答案：
解析
(1)证明:
∵∠BAE = ∠CAF = 90°,
∴∠BAE + ∠BAC = ∠CAF + ∠BAC,即∠CAE = ∠BAF。
在△EAC与△BAF中，$\left\{ \begin{array} { l } { AE = AB, } \\ { ∠EAC = ∠BAF, } \\ { AC = AF, } \end{array} \right.$
∴△EAC≌△BAF，
∴EC = BF。
(2)证明:如图,设AC交BF于O。
由
(1)知△EAC≌△BAF，
∴∠AFO = ∠OCM，
∵∠AOF = ∠COM，

∴∠OMC = ∠OAF = 90°，
∴EC⊥BF。
(3)
(1)中的结论成立，
(2)中的结论不成立。
提示:同法可证△EAC≌△BAF，可得EC = BF，
易得∠CMF = ∠FAC = m°，
∴
(1)中的结论成立，
(2)中的结论不成立。

2. 已知,在$△ABC$中,$AB = AC$,$D$,$A$,$E三点都在直线m$上,且$DE = 9cm$。
(1) 若$∠BDA = ∠AEC = ∠BAC$。
① 如图1,若$AB ⊥ AC$,则$BD与AE$的数量关系为____BD = AE。
② 如图2,判断并说明线段$BD$,$CE与DE$的数量关系。
(2) 如图3,若$∠BDA = ∠AEC$,$BD = EF = 7cm$,点$A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E$运动,同时,点$C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F$运动,它们运动的时间为$t(s)$。是否存在$x$,使得$△ABD与△EAC$全等？若存在,求出相应的$t的值和x$的值；若不存在,请说明理由。

答案： 解析
(1)①BD = AE。
详解:
∵AB⊥AC，
∴∠BAC = 90°，
∴∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = 90°，
∴∠DBA + ∠BAD = ∠BAD + ∠CAE = 90°，
∴∠DBA = ∠CAE，
∵AB = AC，
∴△BAD≌△ACE(AAS)，
∴BD = AE。
②BD + CE = DE。
证明:
∵∠BDA = ∠AEC = ∠BAC，
∴∠DBA + ∠BAD = ∠BAD + ∠CAE，
∴∠DBA = ∠CAE，
又
∵AB = AC，
∴△BAD≌△ACE(AAS)，
∴BD = AE，AD = CE，
∴BD + CE = AE + AD = DE。
(2)存在。
∵点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，DE = 9cm，
∴DA = 2tcm，EC = xtcm，AE = (9 - 2t)cm，
①当△BDA≌△AEC时，DA = CE，BD = AE = 7cm，
∴2t = xt，9 - 2t = 7，
∴x = 2，t = 1；
②当△BDA≌△CEA时，DA = EA，BD = CE = 7cm，
∴2t = 9 - 2t，xt = 7，
∴$t = \frac { 9 } { 4 }$，$x = \frac { 28 } { 9 }$。
综上，x = 2，t = 1或$t = \frac { 9 } { 4 }$，$x = \frac { 28 } { 9 }$。