《2025年5年中考3年模拟八年级数学上册人教版》

25. 学科 手拉手 情境 模型(10 分)在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点 D 是直线 BC 上一点(不与 B,C 重合),以 AD 为一边在 AD 的右侧作$\triangle ADE$,使$AD= AE,∠DAE= ∠BAC$,连接 CE.
(1)如图①,若$\triangle ABC$是等边三角形,点 D 在线段 BC 上,求证:$∠BAC+∠BCE= 180^{\circ }$.
(2)若$∠BAC≠60^{\circ }$,点 D 在 BC 的延长线上,如图②,则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.

答案：
25.解析　
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC = ∠BAC = ∠ACB = 60°，(1分)
∵∠DAE = ∠BAC，
∴∠BAC−∠CAD = ∠DAE−∠CAD，
即∠BAD = ∠CAE，(2分)
在△BAD和△CAE中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD = \angle CAE\\AD = AE\end{cases}$，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE = ∠ABC = 60°.　(4分)
∴∠BAC+∠BCE = 60°+60°+60°=180°.(5分)
(2)
(1)中的结论仍然成立.　(6分)
理由：如图，设AD与CE交于F点，

∵∠DAE = ∠BAC，
∴∠BAC+∠CAD = ∠DAE+∠CAD，
即∠BAD = ∠CAE，(7分)
在△BAD和△CAE中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD = \angle CAE\\AD = AE\end{cases}$，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ADB = ∠AEC，(8分)
∵∠AFE = ∠CFD，
∴∠DAE = ∠ECD，
∵∠BAC = ∠DAE，
∴∠BAC = ∠ECD，(9分)
∵∠ECD+∠BCE = 180°，
∴∠BAC+∠BCE = 180°.　(10分)

26. (12 分)如图,在$\triangle ABC$中,过点 A,B 分别作直线 AM,BN,且$AM// BN$,过点 C 作直线 DE 交直线 AM 于 D,交直线 BN 于 E.
(1)如图 1,若 AC,BC 分别平分$∠DAB和∠EBA$,求$∠ACB$的度数.
(2)在(1)的条件下,若$AD= 1,BE= \frac {5}{2}$,求 AB 的长.
(3)如图 2,若$AC= AB$,且$∠DEB= ∠BAC= 60^{\circ }$,H 是线段 EB 上一点,$EH= EC$,连接 CH,如果$AD= a,BE= b$,求 BH 的长.(用含 a,b 的式子表示)

答案：
26.解析　
(1)
∵AC平分∠MAB，BC平分∠NBA，
∴∠CAB = $\frac{1}{2}$∠MAB，∠CBA = $\frac{1}{2}$∠NBA，
∵AM//BN，
∴∠MAB+∠NBA = 180°，(2分)
∴∠CAB+∠CBA = $\frac{1}{2}$(∠MAB+∠NBA)=90°，
∴∠ACB = 180°−(∠CAB+∠CBA)=180°−90°=90°.
(4分)
(2)如图1，在AB上取一点F，使AF = AD = 1，连接CF，
∵AC平分∠DAB，
∴∠FAC = ∠DAC，
在△AFC和△ADC中，$\begin{cases}AF = AD\\\angle FAC = \angle DAC\\AC = AC\end{cases}$，
∴△AFC≌△ADC(SAS)，
∴∠AFC = ∠ADC，(6分)
∵AM//BN，
∴∠ADC+∠BEC = 180°，
∵∠AFC+∠BFC = 180°，
∴∠BFC = ∠BEC，(7分)
∵BC平分∠ABE，
∴∠FBC = ∠EBC，
在△BFC和△BEC中，$\begin{cases}\angle BFC = \angle BEC\\\angle FBC = \angle EBC\\BC = BC\end{cases}$，
∴△BFC≌△BEC(AAS)，
∴BF = BE = $\frac{5}{2}$，
∴AB = AF + BF = 1 + $\frac{5}{2}$ = $\frac{7}{2}$.
(8分)


(3)如图2，
∵AC = AB，∠BAC = 60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC = BC，∠ACB = 60°，
∵EH = EC，∠DEB = 60°，
∴△ECH为等边三角形，
∴∠ECH = ∠EHC = 60°，HC = HE，
∴∠BHC = 120°，
∵AM//BN，
∴∠ADC+∠DEB = 180°，
∴∠ADC = 180°−60°=120°，
∴∠ADC = ∠BHC，∠DAC+∠DCA = 60°，(10分)
∵∠DCA+∠ACB+∠HCB+∠ECH = 180°，
∴∠DCA+∠HCB = 60°，
∴∠DAC = ∠HCB，
∴△DAC≌△HCB(AAS)，(11分)
∴AD = CH = HE，
∵AD = a，BE = b，
∴BH = BE - HE = b - a.(12分)