《2025年5年中考3年模拟八年级数学上册人教版》

1.「2025四川自贡期末」如图,$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点D在AB边上,点E在AC的延长线上,连接DE交BC于点F,$EF= DF$,求证：$CE= BD$。

答案：
证明　如图，过点D作DH//AC，交BC于H，

∴∠DHB=∠ACB，∠DHF=∠ECF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠DHB，
∴BD=HD，
在△DHF和△ECF中，{∠DFH=∠EFC,∠DHF=∠ECF,DF=EF,
∴△DHF≌△ECF(AAS)，
∴HD=CE，
∵BD=HD，
∴CE=BD.

2.「2025浙江宁波外国语学校月考」如图,$\triangle ABC$中,$CA= CB$,D在AC的延长线上,E在BC上,且$CD= CE$,求证：$DE\perp AB$。

答案：
证明　如图，过点D作DM//AB 交BC的延长线于点M.

∵CA=CB，
∴∠A=∠B.
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED.
∵DM//AB，
∴∠CMD=∠B=∠A=∠MDA.
∵∠MDC+∠CDE+∠DEC+∠DMC=180°，
∴2∠MDC+2∠CDE=180°.
∴∠MDC+∠CDE=90°.
∴∠MDE=90°，
∴DE⊥MD.
∵DM//AB，
∴DE⊥AB.

3.「2025江苏南京一中月考」如图,D为$\triangle ABC$内一点,CD平分$\angle ACB$,$BD\perp CD$,$\angle A= \angle ABD$,若$BD= 1$,$BC= 3$,则AC的长为____。

答案：
答案　5
解析　如图，延长BD，与AC交于点E，

∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∴∠EBC=∠BEC，
∴BC=CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD=BE，
∵BD=1，BC=3，
∴BE=2，CE=3，
∴AE=BE=2，
∴AC=AE+EC=2+3=5.
故答案为5.

4.「2025重庆西南大学附中月考」如图,$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle BAC= 90^{\circ}$,CD平分$\angle ACB$,$BE\perp CD$于E,求证：$CD= 2BE$。

答案：
证明　如图，延长BE交CA的延长线于F，

∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE=∠BCE，
在△CEF和△CEB中，{∠FCE=∠BCE,CE=CE,∠CEF=∠CEB=90°,
∴△CEF≌△CEB(ASA)，
∴FE=BE=$\frac{1}{2}$BF，
∵∠DAC=∠CEF=∠BAF=90°，
∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°，
∴∠ACD=∠ABF，
在△ACD和△ABF中，{∠ACD=∠ABF,AC=AB,∠CAD=∠BAF,
∴△ACD≌△ABF(ASA)，
∴CD=BF，
∴CD=2BE.