《2025年5年中考3年模拟八年级数学上册人教版》

7. 「2023四川凉山州中考」如图,点 E,点 F 在 BC 上,$BE= CF,∠B= ∠C$,添加一个条件,不能证明$△ABF\cong △DCE$的是(D)

A. $∠A= ∠D$
B. $∠AFB= ∠DEC$
C. $AB= DC$
D. $AF= DE$

答案： D
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∴当添加∠A=∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；当添加∠AFB=∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；当添加AB=DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；当添加AF=DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意.故选D.

8. 「2025河北沧州质检」如图,在$△ABC$中,$AB= AC,AB＞BC$,点 D 在边 BC 上,$CD= 2BD$,点 E,F 在线段 AD 上,几何画板演示$∠1= ∠2= ∠BAC$,若$△ABC$的面积为 18,则$△ACF与△BDE$的面积之和为(A)

A. 6
B. 9
C. 12
D. 16

答案： A
∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，在△ABE和△CAF中，
$\left\{ \begin{array}{l} ∠ABE=∠CAF, \\ AB=AC, \\ ∠BAE=∠ACF, \end{array} \right. $
∴△ABE≌△CAF(ASA)，
∴△ACF的面积=△ABE的面积，
∴△ACF与△BDE的面积之和=△ABE与△BDE的面积之和=△ABD的面积，
∵△ABC的面积为18，CD=2BD，
∴△ABD的面积= \frac{1}{3}×18=6，
∴△ACF与△BDE的面积之和=△ABD的面积=6，故选A.

9. 「2025广东东莞期中」海盗船是一种模拟海盗冒险场景的游乐项目.如图,当海盗船静止时,转轴 B 到地面的距离$BD= 15m$.当海盗船的船头在 A 处时,$AC⊥BD$,此时测得点 A 到地面的距离$AE= 9m$.当船头从 A 处摆动到$A'$处时,$A'B⊥AB$,则点$A'$到 BD 的距离为____.

答案：
答案 6m
解析 如图，过点A'作A'F⊥BD于点F，

∵AC⊥BD，A'B⊥AB，
∴∠FBA'+∠FBA=∠CAB+∠FBA，
∴∠FBA'=∠CAB，
在△FBA'和△CAB中，
$\left\{ \begin{array}{l} ∠FBA'=∠CAB, \\ ∠A'FB=∠ACB=90°, \\ A'B=AB, \end{array} \right. $
∴△FBA'≌△CAB(AAS)，
∴A'F=BC，又易知CD=AE=9m，
∴BC=BD−CD=6m，
∴A'F=6m，即点A'到BD的距离为6m.

10. 「2024四川南充中考」如图,在$△ABC$中,点 D 为 BC 边的中点,过点 B 作$BE// AC$交 AD 的延长线于点 E.
(1)求证:$△BDE\cong △CDA$.

证明：∵点D为BC的中点，∴BD=CD，∵BE//AC，∴∠EBD=∠C，∠E=∠CAD，在△BDE和△CDA中，$\left\{ \begin{array}{l} ∠EBD=∠C, \\ ∠E=∠CAD, \\ BD=CD, \end{array} \right. $∴△BDE≌△CDA(AAS).
(2)若$AD⊥BC$,求证:$BA= BE$.
证明：由(1)知△BDE≌△CDA，∴BE=CA，AD=DE，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠BDE=90°，在△ABD与△EBD中，$\left\{ \begin{array}{l} AD=DE, \\ ∠ADB=∠EDB, \\ BD=BD, \end{array} \right. $∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴BA=BE.

答案： 证明
(1)
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD，
∵BE//AC，
∴∠EBD=∠C，∠E=∠CAD，
在△BDE和△CDA中，
$\left\{ \begin{array}{l} ∠EBD=∠C, \\ ∠E=∠CAD, \\ BD=CD, \end{array} \right. $
∴△BDE≌△CDA(AAS).
(2)由
(1)知△BDE≌△CDA，
∴BE=CA，AD=DE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠BDE=90°，
在△ABD与△EBD中，
$\left\{ \begin{array}{l} AD=DE, \\ ∠ADB=∠EDB, \\ BD=BD, \end{array} \right. $
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴BA=BE.

11. 「」如图,在$Rt△ABC$中,$AB= BC,∠B= 90^{\circ }$,点 D 是 BC 边上一点,$DE⊥AD,CE⊥AC$,DE 和 CE 交于点 E.求证:$AD= DE$.
证明:如图,在 AB 上取一点 F,使$BF= BD$,连接 DF.$\because ∠ABC= 90^{\circ },\therefore △BFD$是等腰直角三角形,
$\therefore ∠BFD= 45^{\circ }$,∵∠AFD+∠BFD=180°，∴∠AFD=135°，∵AB=BC，∠B=90°，CE⊥AC，∴∠ACB=45°，∠ACE=90°，∴∠DCE=45°+90°=135°，∴∠AFD=∠DCE，∵∠B=90°，∠ADE=90°，∴∠BAD+∠ADB=90°，∠ADB+∠CDE=90°，∴∠BAD=∠CDE.∵AB=BC，BF=BD，∴AF=DC，∴△AFD≌△DCE(ASA)，∴AD=DE.

答案： 解析 补充证明过程如下：
∵∠AFD+∠BFD=180°，
∴∠AFD=135°，
∵AB=BC，∠B=90°，CE⊥AC，
∴∠ACB=45°，∠ACE=90°，
∴∠DCE=45°+90°=135°，
∴∠AFD=∠DCE，
∵∠B=90°，∠ADE=90°，
∴∠BAD+∠ADB=90°，∠ADB+∠CDE=90°，
∴∠BAD=∠CDE.
∵AB=BC，BF=BD，
∴AF=DC，
∴△AFD≌△DCE(ASA)，
∴AD=DE.

12. 新推理能力学科一线三垂直模型如图,在$△ACB$中,$∠ACB= 90^{\circ },AC= BC$,点 C 的坐标为$(-2,0)$,点 A 的坐标为$(-6,3)$,求点 B 的坐标.

答案：
解析 如图，过A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，

∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{ \begin{array}{l} ∠ADC=∠CEB=90°, \\ ∠CAD=∠BCE, \\ AC=CB, \end{array} \right. $
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴DC=BE，AD=CE，
∵点C的坐标为(−2,0)，点A的坐标为(−6,3)，
∴OC=2，AD=CE=3，OD=6，
∴CD=OD−OC=6−2=4，OE=CE−OC=3−2=1，
∴BE=CD=4，
∴点B的坐标为(1,4).
方法总结 一线三垂直模型：通常情况下利用的是两锐角互余与平角是180°，通过角的等量关系和已知的一组边相等证得两个直角三角形全等.