《2025年5年中考3年模拟八年级数学上册人教版》

14. (10分)利用简便方法计算:
(1) $ 23×2.718+59×2.718+18×2.718 $.
(2) $ 2016^{2}-4034×2016+2017^{2} $.

答案： 解析 （1）原式$=(23 + 59 + 18)\times2.718=100\times2.718=271.8$.
（2）原式$=2016^{2}-2\times2016\times2017+2017^{2}=(2016 - 2017)^{2}=1$.

15. 新 代数推理「2025新疆乌鲁木齐期末」(10分)
【学习与思考】
如果用 $ \overline{ab} $ 表示一个两位数(即十位上的数字为 $ a $,个位上的数字为 $ b $),那么当 $ a = b $ 时, $ \overline{ab} $ 能被11整除(如11,22,33,…能被11整除).理由如下:
$ \overline{ab}= 10a + b $, 当 $ a = b $ 时, $ \overline{ab}= 10a + a = 11a $, 因为 $ 11a $ 是11的倍数,所以 $ \overline{ab} $ 能被11整除.
【探索与应用】
如果用 $ \overline{abc} $ 表示一个三位数.
(1) 写出两个能被11整除的三位数.110，121（答案不唯一）
(2) 写出 $ a $, $ b $, $ c $ 满足什么条件时, $ \overline{abc} $ 能被11整除,并说明理由.$a - b + c$是11的倍数时，$\overline{abc}$能被11整除，理由如下：$\overline{abc}=100a + 10b + c=99a + 11b + a - b + c=11(9a + b)+(a - b + c)$，$\because 11(9a + b)$是11的倍数，$\therefore a - b + c$是11的倍数时，$\overline{abc}$能被11整除.

答案： 解析 （1）110，121（答案不唯一）.
（2）$a - b + c$是11的倍数时，$\overline{abc}$能被11整除，理由如下：$\overline{abc}=100a + 10b + c=99a + 11b + a - b + c=11(9a + b)+(a - b + c)$，$\because 11(9a + b)$是11的倍数，$\therefore a - b + c$是11的倍数时，$\overline{abc}$能被11整除.

16. (11分)
(1) 将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式分解的方法是分组分解法.
例如: $ am + an + bm + bn= (am + an)+(bm + bn)= a(m + n)+b(m + n)= (a + b)(m + n) $.
① 分解因式: $ ab - 2a - 2b + 4 $=$(b - 2)(a - 2)$.
② 若 $ a $, $ b(a ＞ b) $ 都是正整数且满足 $ ab - 2a - 2b - 4 = 0 $, 求 $ 2a + b $ 的值.23或16
(2) 若 $ a $, $ b $ 为实数且满足 $ ab - a - b - 1 = 0 $, 整式 $ M = a^{2}+3ab + b^{2}-9a - 7b $, 求整式 $ M $ 的最小值.-10

答案： 解析 （1）①$ab - 2a - 2b + 4=(ab - 2a)-(2b - 4)=a(b - 2)-2(b - 2)=(b - 2)(a - 2)$.
②$\because ab - 2a - 2b - 4=ab - 2a - 2b + 4 - 8=0$，$\therefore(b - 2)(a - 2)=8$，$\because a$，$b(a ＞ b)$都是正整数，$\therefore a - 2 ＞ b - 2\geqslant - 1$，且$a - 2$，$b - 2$都为整数，$\therefore\begin{cases}a - 2 = 8,\\b - 2 = 1\end{cases}$或$\begin{cases}a - 2 = 4,\\b - 2 = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 10,\\b = 3\end{cases}$或$\begin{cases}a = 6,\\b = 4,\end{cases}$当$a = 10$，$b = 3$时，$2a + b = 2\times10 + 3 = 20 + 3 = 23$；当$a = 6$，$b = 4$时，$2a + b = 2\times6 + 4 = 12 + 4 = 16$.$\therefore 2a + b$的值为23或16.
（2）由$ab - a - b - 1 = 0$得$ab = a + b + 1$，$\therefore M = a^{2}+3(a + b + 1)+b^{2}-9a - 7b = a^{2}+3a + 3b + 3 + b^{2}-9a - 7b=(a^{2}-6a + 9)+(b^{2}-4b + 4)-9 - 4 + 3=(a - 3)^{2}+(b - 2)^{2}-10$，$\because(a - 3)^{2}\geqslant0$，$(b - 2)^{2}\geqslant0$，$\therefore$整式$M$的最小值是$-10$.