《2025年5年中考3年模拟八年级数学上册人教版》

13.「2023甘肃兰州中考,★☆」计算$\frac {a^{2}-5a}{a-5}=$(a)
A. $a-5$
B. $a+5$
C. 5
D. a

答案： D $\frac{a^{2} - 5a}{a - 5} = \frac{a(a - 5)}{a - 5} = a$，故选 D.

14.「2025山东淄博期中,★☆」将分式$\frac {1}{1-a^{2}}与分式\frac {a+1}{a^{2}-2a+1}$通分后,$\frac {a+1}{a^{2}-2a+1}的分母变为(1+a)(1-a)^{2}$,则$\frac {1}{1-a^{2}}$的分子变为(1 - a)
A. $1-a$
B. $1+a$
C. $-1-a$
D. $-1+a$

答案： A 由题意知两分式的最简公分母为$(1 + a)(1 - a)^{2}$，$\therefore \frac{1}{1 - a^{2}} = \frac{1}{(1 + a)(1 - a)} = \frac{1 - a}{(1 + a)(1 - a)^{2}}$，则$\frac{1}{1 - a^{2}}$的分子变为$1 - a$. 故选 A.

15.「★☆」下列约分错误的是(D)
A. $\frac {-25a^{2}bc^{3}}{15ab^{2}c}= -\frac {5ac^{2}}{3b}$
B. $\frac {x^{2}-9}{x^{2}+6x+9}= \frac {x-3}{x+3}$
C. $\frac {6x^{2}-12xy+6y^{2}}{3x-3y}= 2x-2y$
D. $\frac {x^{2}-y^{2}}{x-y}= x-y$

答案： D $\frac{- 25a^{2}bc^{3}}{15ab^{2}c} = - \frac{5ac^{2}}{3b}$，故选项 A 不符合题意.$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6x + 9} = \frac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 3)^{2}} = \frac{x - 3}{x + 3}$，故选项 B 不符合题意.$\frac{6x^{2} - 12xy + 6y^{2}}{3x - 3y} = \frac{6(x - y)^{2}}{3(x - y)} = 2(x - y) = 2x - 2y$，故选项 C 不符合题意.$\frac{x^{2} - y^{2}}{x - y} = \frac{(x + y)(x - y)}{x - y} = x + y$，故选项 D 符合题意. 故选 D.

16.「★☆」当$1＜x＜2$时,化简$\frac {|x-1|}{1-x}+\frac {|x-2|}{x-2}$的值是-2.

答案： 答案 $- 2$
解析 因为$1 ＜ x ＜ 2$，所以$\frac{|x - 1|}{1 - x} + \frac{|x - 2|}{x - 2} = \frac{x - 1}{1 - x} + \frac{2 - x}{x - 2} = - 1 - 1 = - 2$.

17. 多解法「★☆」若$\frac {a}{2}= \frac {b}{3}$,则$\frac {a^{2}-4b^{2}}{a^{2}-2ab}$的值是4.

答案： 答案 $4$
解析 【解法一】因为$\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$，所以$b = \frac{3}{2}a$，所以$\frac{a^{2} - 4b^{2}}{a^{2} - 2ab} = \frac{(a + 2b)(a - 2b)}{a(a - 2b)} = \frac{a + 2b}{a} = \frac{a + 2 \times \frac{3}{2}a}{a} = 4$.
【解法二】设$\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = k(k \neq 0)$，则$a = 2k$，$b = 3k$，所以$\frac{a^{2} - 4b^{2}}{a^{2} - 2ab} = \frac{(a + 2b)(a - 2b)}{a(a - 2b)} = \frac{a + 2b}{a} = \frac{2k + 6k}{2k} = 4$.

18. 新定义题「2025上海浦东新区月考,★☆」如果一个分式的分子或分母可以因式分解,且这个分式不可约分,那么我们称这个分式为“和谐分式”.如分式$\frac {a-2b}{a^{2}-b^{2}}$就是“和谐分式”.若a为正整数,且$\frac {x-1}{x^{2}+ax+9}$为“和谐分式”,则a的值为6或10.

答案： 答案 $6$或$10$
解析 由题意可知$x^{2} + ax + 9$可以因式分解，且$a$为正整数，则①$x^{2} + ax + 9 = (x + 1)(x + 9)$，此时$a = 10$，②$x^{2} + ax + 9 = (x + 3)^{2}$，此时$a = 6$，③$x^{2} + ax + 9 = (x - 3)^{2}$，此时$a = - 6$（不合题意，舍去），④$x^{2} + ax + 9 = (x - 1)(x - 9)$，此时$a = - 10$（不合题意，舍去）. 综上，$a$的值是$6$或$10$.

19. (1)「2025北京文汇中学质检,★☆」先化简,再求值:$\frac {3a^{2}-ab}{9a^{2}-6ab+b^{2}}$,其中$a= \frac {3}{4},b= -\frac {2}{3}$.
化简结果为$\frac{a}{3a - b}$，值为$\frac{9}{35}$.
(2)「2023北京中考,★☆」已知$x+2y-1= 0$,求$\frac {2x+4y}{x^{2}+4xy+4y^{2}}$的值.
值为2.

答案： 解析 （1）$\frac{3a^{2} - ab}{9a^{2} - 6ab + b^{2}} = \frac{a(3a - b)}{(3a - b)^{2}} = \frac{a}{3a - b}$，当$a = \frac{3}{4}$，$b = - \frac{2}{3}$时，原式$ = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{9}{4} + \frac{2}{3}} = \frac{9}{35}$.
（2）$\frac{2x + 4y}{x^{2} + 4xy + 4y^{2}} = \frac{2(x + 2y)}{(x + 2y)^{2}} = \frac{2}{x + 2y}$，由$x + 2y - 1 = 0$，得$x + 2y = 1$，所以原式$ = \frac{2}{1} = 2$.

20.「2025陕西西安期末,★☆」通分:
(1)$-\frac {y}{4x^{2}},\frac {x^{2}}{3y^{3}},\frac {2}{5xy}$.
(2)$\frac {1}{4+2x},\frac {x}{x^{2}-4},\frac {1}{x^{2}-4x+4}$.

答案： 解析 （1）最简公分母为$60x^{2}y^{3}$，$\frac{y}{4x^{2}} = - \frac{15y^{4}}{60x^{2}y^{3}}$，$\frac{x^{2}}{3y^{3}} = \frac{20x^{4}}{60x^{2}y^{3}}$，$\frac{2}{5xy} = \frac{24xy^{2}}{60x^{2}y^{3}}$.
（2）最简公分母为$2(x + 2)(x - 2)^{2}$，$\frac{1}{4 + 2x} = \frac{(x - 2)^{2}}{2(x + 2)(x - 2)^{2}}$，$\frac{x}{x^{2} - 4} = \frac{2x^{2} - 4x}{2(x + 2)(x - 2)^{2}}$，$\frac{1}{x^{2} - 4x + 4} = \frac{2x + 4}{2(x + 2)(x - 2)^{2}}$.

21. 推理能力 代数推理 “约去”指数：如$\frac {3^{3}+1^{3}}{3^{3}+2^{3}}= \frac {3+1}{3+2},\frac {5^{3}+2^{3}}{5^{3}+3^{3}}= \frac {5+2}{5+3},... ... $你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分,一笑之后,再认真检验,发现其结果竟然正确! 这是什么原因？仔细观察式子,我们可作如下猜想:$\frac {a^{3}+b^{3}}{a^{3}+(a-b)^{3}}= \frac {a+b}{a+(a-b)}$,试说明此猜想的正确性.
[供参考：$x^{3}+y^{3}= (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$]
证明 $\because \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{3} + (a - b)^{3}} = \frac{(a + b)(a^{2} - ab + b^{2})}{(a + a - b)(a^{2} - a(a - b) + (a - b)^{2})} = \frac{(a + b)(a^{2} - ab + b^{2})}{(a + a - b)(a^{2} - a^{2} + ab + a^{2} - 2ab + b^{2})} = \frac{(a + b)(a^{2} - ab + b^{2})}{(a + a - b)(a^{2} - ab + b^{2})} = \frac{a + b}{a + a - b}$，$\therefore \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{3} + (a - b)^{3}} = \frac{a + b}{a + (a - b)}$正确.

答案： 证明 $\because \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{3} + (a - b)^{3}} = \frac{(a + b)(a^{2} - ab + b^{2})}{(a + a - b)(a^{2} - a^{2} + ab + a^{2} - 2ab + b^{2})} = \frac{a + b}{a + a - b}$，$\therefore \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{3} + (a - b)^{3}} = \frac{a + b}{a + (a - b)}$正确.