《2025年5年中考3年模拟八年级数学上册人教版》

7.「2024安徽中考」在凸五边形ABCDE中,$AB= AE,BC= DE$,F是CD的中点.下列条件中,不能推出AF与CD一定垂直的是( )
A.$∠ABC= ∠AED$
B.$∠BAF= ∠EAF$
C.$∠BCF= ∠EDF$
D.$∠ABD= ∠AEC$

答案：
D 如图,选项A,连接AC,AD，
∵AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=DE,
∴△ABC≌△AED(SAS),
∴AC=AD,
∵F是CD的中点,
∴CF=CD, 又
∵AF=AF,
∴△AFC≌△AFD(SSS),
∴∠AFC=∠AFD=90°,
∴AF⊥CD,故选项A不合题意;选项B,连接BF,EF,
∵AB=AE,∠BAF=∠EAF,AF=AF,
∴△ABF≌△AEF(SAS),
∴∠AFB=∠AFE,BF=EF,
∴△BFC≌△EFD(SSS),
∴∠BFC=∠EFD,
∴∠BFC+∠AFB=∠EFD+∠AFE,
∴∠AFC=∠AFD=90°,
∴AF⊥CD,故选项B不合题意;选项C,思路与选项B大致相同,先证△BFC≌△EFD(SAS),再证△ABF≌△AEF(SSS),
∴∠BFC+∠AFB=∠EFD+∠AFE,
∴∠AFC=∠AFD=90°,
∴AF ⊥CD,所以选项C不合题意.故选D.

8.「2025云南昆明期末」如图,D是$∠MAN$内部一点,$DE⊥AM$于E,$DF⊥AN$于F,且$DE= DF$,点B是射线AM上一点,$AB= 6,BE= 2$,在射线AN上取一点C,使得$DC= DB$,则AC的长

为____.

答案：
答案 6或10
解析 ①如图1,当点C在线段AF上时,连接AD,
∵DE⊥AM于E,DF⊥AN于F,
∴∠DEB=∠DFC=90°,在Rt△DEB和Rt△DFC中,$\left\{\begin{array}{l} DB=DC,\\ DE=DF,\end{array}\right.$
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL),
∴CF=BE=2,在Rt△DEA和Rt△DFA中,$\left\{\begin{array}{l} DA=DA,\\ DE=DF,\end{array}\right.$
∴Rt△DEARt△DFA(HL),
∴AF=AE=AB+BE=6+2=8,
∴AC=AF−CF=8−2=6;②如图2,当点C在线段AF的延长线上时，连接AD, 同理可得AF=AE=8,CF=BE=2,
∴AC=AF+CF=8+2=10.故答案为6或10.

9.「2023江苏南通中考」如图,点D,E分别在AB,AC上,$∠ADC= ∠AEB= 90^{\circ }$,BE,CD相交于点O,$OB= OC$.求证:$∠1= ∠2$.
小虎同学的证明过程如下:

证明:$\because ∠ADC= ∠AEB= 90^{\circ },$
$\therefore ∠DOB+∠B= ∠EOC+∠C= 90^{\circ }.$
$\because ∠DOB= ∠EOC,$
$\therefore ∠B= ∠C$.……第一步
又$OA= OA,OB= OC,$
$\therefore △ABO\cong △ACO$.……第二步
$\therefore ∠1= ∠2$.……第三步
(1)小虎同学的证明过程中,第____二____步出现错误.
(2)请写出正确的证明过程.
证明:∵∠ADC=∠AEB=90°,∴∠BDC=∠CEB=90°,∠BDO=∠CEO,在△DOB和△EOC中,$\left\{\begin{array}{l} \angle BDO=\angle CEO,\\ \angle DOB=\angle EOC,\\ OB=OC,\end{array}\right.$ ∴△DOB≌△EOC(AAS),∴OD=OE,在Rt△ADO和Rt△AEO中,$\left\{\begin{array}{l} OA=OA,\\ OD=OE,\end{array}\right.$ ∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),∴∠1=∠2.

答案： 解析
(1)二
(2)证明:
∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠BDC=∠CEB=90°,∠BDO=∠CEO,在△DOB和△EOC中,$\left\{\begin{array}{l} \angle BDO=\angle CEO,\\ \angle DOB=\angle EOC,\\ OB=OC,\end{array}\right.$
∴△DOB≌△EOC(AAS),
∴OD=OE,在Rt△ADO和Rt△AEO中,$\left\{\begin{array}{l} OA=OA,\\ OD=OE,\end{array}\right.$
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),
∴∠1=∠2.

10.「2025江西南昌期末」如图,AD是$△ABC$的中线,$BE⊥AD$,垂足为E,$CF⊥AD$,交AD的延长线于点F,G是DA延长线上一点,连接BG.
(1)求证:$BE= CF$.
证明 (1)∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,∵BE⊥AD,CF⊥AF,∴∠BED=∠F,在△BED和△CFD中,$\left\{\begin{array}{l} \angle BED=\angle CFD,\\ \angle BDE=\angle CDF,\\ BD=CD,\end{array}\right.$ ∴△BED≌△CFD(AAS),∴BE=CF.
(2)若$BG= CA$,求证:$GA= 2DE$.
证明 (2)在Rt△BGE和Rt△CAF中,$\left\{\begin{array}{l} BG=CA,\\ BE=CF,\end{array}\right.$ ∴Rt△BGE≌Rt△CAF(HL),∴GE=AF,∴GA=EF,∵△BED≌△CFD,∴DE=DF,∴GA=EF=2DE.

答案： 证明
(1)
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
∵BE⊥AD,CF⊥AF,
∴∠BED=∠F,在△BED和△CFD中,$\left\{\begin{array}{l} \angle BED=\angle CFD,\\ \angle BDE=\angle CDF,\\ BD=CD,\end{array}\right.$
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴BE=CF.
(2)在Rt△BGE和Rt△CAF中,$\left\{\begin{array}{l} BG=CA,\\ BE=CF,\end{array}\right.$
∴Rt△BGE≌Rt△CAF(HL),
∴GE=AF,
∴GA=EF,
∵△BED≌△CFD,
∴DE=DF,
∴GA=EF=2DE.

11.如图,$△ABC$中,$∠ABC= 60^{\circ },AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB$,AD,CE相交于点P.
(1)求$∠APC$的度数.120°
(2)若$AE= 3,CD= 4$,求线段AC的长.7

答案： 解析
(1)
∵∠ABC=60°,
∴∠BAC+∠ACB=120°,
∵AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,
∴∠PAC+∠PCA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ACB)=60°,
∴∠APC=180°−(∠PAC+∠PCA)=120°.
(2)如图,在AC上截取AF,使AF=AE,连接PF,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,在△APE和△APF中,$\left\{\begin{array}{l} AE=AF,\\ \angle EAP=\angle FAP,\\ AP=AP,\end{array}\right.$
∴△APE≌△APF(SAS),
∴∠APE=∠APF,
∵∠APC=120°,
∴∠APE=60°,∠CPD=60°,
∴∠APF=60°,
∴∠CPF=60°=∠CPD,
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACP=∠BCP,在△CPF和△CPD中,$\left\{\begin{array}{l} \angle CPF=\angle CPD,\\ CP=CP,\\ \angle FCP=\angle DCP,\end{array}\right.$
∴△CPF≌△CPD(ASA),
∴CF=CD,
∴AC=AF+CF=AE+CD=3+4=7.