《2025年5年中考3年模拟八年级数学上册人教版》

9.「2025河南安阳期末」如图,在$△ABC$中,$∠ABC,∠ACB$的平分线交于点O,连接AO,过点O作$OD⊥BC$于D,$OE⊥AB$于E,$△ABC$的面积是16,周长是8,则OD的长是( )

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：
D 如图，过点 $ O $ 作 $ OF \perp AC $ 于 $ F $，
　　　　　　　　
　$ \because BO $ 平分 $ \angle ABC $，$ OD \perp BC $，$ OE \perp AB $，$ \therefore OD = OE $，$ \because CO $ 平分 $ \angle ACB $，$ OD \perp BC $，$ OF \perp AC $，$ \therefore OD = OF $，$ \therefore OD = OE = OF $，由题意得 $ \frac { 1 } { 2 } A B \cdot O E + \frac { 1 } { 2 } B C \cdot O D + \frac { 1 } { 2 } A C \cdot O F = 16 $，$ \therefore \frac { 1 } { 2 } \times 8 \times O D = 16 $，解得 $ OD = 4 $，故选 D.

10.如图,在平面直角坐标系的x轴,y轴上分别截取OA,OB,使$OA= OB$,再分别以点A,B为圆心,以大于$\frac {1}{2}AB$长为半径画弧,两弧交于点P,若点P的坐标为$(a,2a-3)$,则a的值为____3.

答案： 答案 3
　解析 由题意知点 $ P $ 在 $ \angle BOA $ 的平分线上，$ \therefore $ 点 $ P $ 到 $ x $ 轴和 $ y $ 轴的距离相等，又 $ \because $ 点 $ P $ 的坐标为 $ ( a, 2 a - 3 ) $，且在第一象限，$ \therefore a = 2 a - 3 $，$ \therefore a = 3 $. 故答案为 3.

11.「2025辽宁本溪期中」如图,BD是$△ABC$的角平分线,$DE⊥AB,DF⊥BC$,垂足分别为E,F.
(1)求证:$DE= DF$.
证明：$ \because BD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线，$ DE \perp AB $，$ DF \perp BC $，垂足分别为 $ E $，$ F $，$ \therefore DE = DF $.
(2)若$△ABC$的面积为80,$AB= 16,DE= 4$,求BC的长.
解：$ \because DE \perp AB $，$ AB = 16 $，$ DE = 4 $，$ \therefore S _ { \triangle A B D } = \frac { 1 } { 2 } A B \cdot DE = 32 $，$ \because DF \perp BC $，$ DF = DE = 4 $，$ \therefore S _ { \triangle B C D } = \frac { 1 } { 2 } BC \cdot DF = \frac { 1 } { 2 } BC × 4 = S _ { \triangle A B C } - S _ { \triangle A B D } = 80 - 32 = 48 $，$ \therefore BC = $24.

答案： 解析 （1）证明：$ \because BD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线，$ DE \perp AB $，$ DF \perp BC $，垂足分别为 $ E $，$ F $，$ \therefore DE = DF $.
（2）$ \because DE \perp AB $，$ AB = 16 $，$ DE = 4 $，$ \therefore S _ { \triangle A B D } = \frac { 1 } { 2 } A B \cdot D E = 32 $，$ \because DF \perp BC $，$ DF = DE = 4 $，$ \therefore S _ { \triangle B C D } = \frac { 1 } { 2 } B C \cdot D F = \frac { 1 } { 2 } B C \times 4 = S _ { \triangle A B C } - S _ { \triangle A B D } = 80 - 32 = 48 $，$ \therefore BC = 24 $.

12.「2025重庆巴南实验中学月考」如图,$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AD⊥AB$,BD平分$∠ABC$交AD于D点,交AC于E点.
(1)求证:$∠ADE= ∠AED$.
(2)若$AB= 6,CE= 2$,求$△ABE$的面积.

答案：
解析 （1）证明：$ \because AD \perp AB $，$ \therefore \angle DAB = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle D + \angle ABD = 90^{\circ} $，$ \because \angle C = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle CEB + \angle CBE = 90^{\circ} $，$ \because BD $ 平分 $ \angle ABC $，$ \therefore \angle CBE = \angle ABE $，$ \therefore \angle D = \angle CEB $，$ \because \angle CEB = \angle AED $，$ \therefore \angle ADE = \angle AED $.
（2）如图，过点 $ E $ 作 $ EF \perp AB $，垂足为 $ F $.
　　　　　　　
$ \because BD $ 平分 $ \angle ABC $，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ \therefore EF = CE = 2 $，$ \because AB = 6 $，$ \therefore \triangle ABE $ 的面积 $ = \frac { 1 } { 2 } A B \cdot E F = \frac { 1 } { 2 } \times 6 \times 2 = 6 $.

13.「2025山东德州期中改编」角平分线定理:三角形一个内角的平分线与其对边相交,交点将该边分成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例,即如图,$△ABC$的角平分线BP交AC于点P,则$\frac {AP}{CP}= \frac {AB}{BC}$.
(1)求证:$\frac {AP}{CP}= \frac {AB}{BC}$.
证明：如图，过点 $ B $ 作 $ BD \perp AC $ 于点 $ D $，过点 $ P $ 作 $ PM \perp AB $ 于点 $ M $，$ PN \perp BC $ 于点 $ N $，$ \because BP $ 平分 $ \angle ABC $，$ \therefore PM = PN $，$ \because S _ { \triangle A B P } = \frac { 1 } { 2 } A P \cdot B D $，$ S _ { \triangle B C P } = \frac { 1 } { 2 } C P \cdot B D $，$ S _ { \triangle A B P } = \frac { 1 } { 2 } A B \cdot P M $，$ S _ { \triangle B C P } = \frac { 1 } { 2 } B C \cdot P N $，$ \therefore S _ { \triangle A B P } : S _ { \triangle B C P } = \left( \frac { 1 } { 2 } A P \cdot B D \right) : \left( \frac { 1 } { 2 } C P \cdot B D \right) = \left( \frac { 1 } { 2 } A B \cdot P M \right) : \left( \frac { 1 } { 2 } B C \cdot P N \right) $，$ \therefore \frac { A P } { C P } = \frac { A B } { B C } $.
(2)若$AB= 8,BC= 12,CP= 6$，求AP的长.4

答案： 解析 （1）证明：如图，过点 $ B $ 作 $ BD \perp AC $ 于点 $ D $，过点 $ P $ 作 $ PM \perp AB $ 于点 $ M $，$ PN \perp BC $ 于点 $ N $，$ \because BP $ 平分 $ \angle ABC $，$ \therefore PM = PN $，$ \because S _ { \triangle A B P } = \frac { 1 } { 2 } A P \cdot B D $，$ S _ { \triangle B C P } = \frac { 1 } { 2 } C P \cdot B D $，$ S _ { \triangle A B P } = \frac { 1 } { 2 } A B \cdot P M $，$ S _ { \triangle B C P } = \frac { 1 } { 2 } B C \cdot P N $，$ \therefore S _ { \triangle A B P } : S _ { \triangle B C P } = \left( \frac { 1 } { 2 } A P \cdot B D \right) : \left( \frac { 1 } { 2 } C P \cdot B D \right) = \left( \frac { 1 } { 2 } A B \cdot P M \right) : \left( \frac { 1 } { 2 } B C \cdot P N \right) $，$ \therefore \frac { A P } { C P } = \frac { A B } { B C } $.
（2）$ \because AB = 8 $，$ BC = 12 $，$ CP = 6 $，$ \frac { A P } { C P } = \frac { A B } { B C } $，$ \therefore \frac { A P } { 6 } = \frac { 8 } { 12 } $，$ \therefore AP = 4 $.