《2025年5年中考3年模拟八年级数学上册人教版》

12.「2023湖北随州中考,★☆」设有边长分别为a和b$(a＞b)$的A类和B类正方形纸片、长为a,宽为b的C类长方形纸片若干张.如图,要拼一个边长为$a+b$的正方形,需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为$3a+b$,宽为$2a+2b$的长方形,则需要C类纸片的张数为(8)

A.$6$
B.$7$
C.$8$
D.$9$

答案： C $\because (3a + b)(2a + 2b) = 6a^{2} + 6ab + 2ab + 2b^{2} = 6a^{2} + 8ab + 2b^{2}$，$\therefore$若要拼一个长为$3a + b$，宽为$2a + 2b$的长方形，则需要C类纸片的张数为8. 故选C.

13.「2025福建泉州期末,★☆」对于多项式$x-a$,$x-b$,$x-c$,$x-d$(a,b,c,d是常数),若$x-a与x-b的积减去x-c与x-d$的积,差为常数,则a,b,c,d应满足的关系是(C)
A.$a+b= -c-d$
B.$a-b= c-d$
C.$a+b= c+d$
D.$ab= cd$

答案： C $(x - a)(x - b) - (x - c)(x - d) = x^{2} - bx - ax + ab - (x^{2} - dx - cx + cd) = x^{2} - bx - ax + ab - x^{2} + dx + cx - cd = dx + cx - ax - bx + ab - cd = (d + c - a - b)x + ab - cd$，$\because x - a$与$x - b$的积减去$x - c$与$x - d$的积，差为常数，$\therefore d + c - a - b = 0$，$\therefore a + b = c + d$，故选C.

14.「2025湖南岳阳质检,★☆」4个数a、b、c、d排列成$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$,我们称之为二阶行列式,规定它的运算法则为$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$,若$\begin{vmatrix}2(x-2)&x+3\\2x-1&x+2\end{vmatrix}=15$,则$x=$-4.

答案： 答案 -4
解析 $\because \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$，$\begin{vmatrix}2(x - 2)&x + 3\\2x - 1&x + 2\end{vmatrix} = 15$，$\therefore 2(x - 2)(x + 2) - (x + 3)(2x - 1) = 15$，化简得$- 5x - 5 = 15$，解得$x = - 4$，故答案为-4.

15.「2025四川泸州期中,★☆」小马和小睿两人共同计算一道整式乘法题：$(3x+a)(2x+b)$,由于小马抄错了a的符号,得到的结果为$6x^{2}-17x+12$；由于小睿漏抄了第二个多项式中x的系数,得到的结果为$3x^{2}-5x-12$.
(1)求a,b的值.
(2)请你计算出这道整式乘法题的正确结果.

答案： 解析
(1)$\because$小马抄错了$a$的符号，得到的结果为$6x^{2} - 17x + 12$，
$\therefore (3x - a)(2x + b) = 6x^{2} - 17x + 12$，
$\therefore 6x^{2} + (3b - 2a)x - ab = 6x^{2} - 17x + 12$，$\therefore 3b - 2a = - 17$.
$\because$小睿漏抄了第二个多项式中$x$的系数，得到的结果为$3x^{2} - 5x - 12$，
$\therefore (3x + a)(x + b) = 3x^{2} - 5x - 12$，
$\therefore 3x^{2} + (a + 3b)x + ab = 3x^{2} - 5x - 12$，$\therefore a + 3b = - 5$，
$\therefore \begin{cases}3b - 2a = - 17,\\a + 3b = - 5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 4,\\b = - 3.\end{cases}$
(2)$\because a = 4$，$b = - 3$，
$\therefore (3x + a)(2x + b) = (3x + 4)(2x - 3)$
$= 6x^{2} - 9x + 8x - 12$
$= 6x^{2} - x - 12$.

16.「2025河南焦作期末,★☆」已知$(x^{3}+mx+n)(x^{2}+x-2)展开式中不含x^{3}项和x^{2}$项.
(1)求m,n的值.
(2)在(1)的条件下,求代数式$(m-n)(m^{2}+mn+n^{2})$的值.

答案： 解析
(1)$(x^{3} + mx + n)(x^{2} + x - 2) = x^{5} + x^{4} + (- 2 + m)x^{3} + (m + n)x^{2} + (- 2m + n)x - 2n$，
根据展开式中不含$x^{3}$项和$x^{2}$项得$- 2 + m = 0$，$m + n = 0$，解得$m = 2$，$n = - 2$.
(2)$(m - n)(m^{2} + mn + n^{2}) = m^{3} + m^{2}n + mn^{2} - m^{2}n - mn^{2} - n^{3} = m^{3} - n^{3}$，
当$m = 2$，$n = - 2$时，原式$= 2^{3} - (- 2)^{3} = 8 - (- 8) = 16$.

17.你能化简$(a-1)(a^{99}+a^{98}+a^{97}+… +a^{2}+a+1)$吗？我们不妨先从简单情况入手,发现规律,归纳结论.
(1)先填空：$(a-1)(a+1)= $$a^{2}-1$；
$(a-1)(a^{2}+a+1)= $$a^{3}-1$；
$(a-1)(a^{3}+a^{2}+a+1)= $$a^{4}-1$；……
由此猜想：$(a-1)(a^{99}+a^{98}+a^{97}+… +a^{2}+a+1)= $$a^{100}-1$.
(2)利用这个结论,请你解决下面的问题：
①求$2^{199}+2^{198}+2^{197}+… +2^{2}+2+1$的值.$2^{200}-1$
②若$a^{7}+a^{6}+a^{5}+a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1= 0$,则a等于多少？$-1$

答案： 解析
(1)$(a - 1)(a + 1) = a^{2} + a - a - 1 = a^{2} - 1$；$(a - 1)(a^{2} + a + 1) = a^{3} - 1$；$(a - 1)(a^{3} + a^{2} + a + 1) = a^{4} - 1$；……
由此猜想：$(a - 1)(a^{99} + a^{98} + a^{97} + \cdots + a^{2} + a + 1) = a^{100} - 1$.
故答案为$a^{2} - 1$；$a^{3} - 1$；$a^{4} - 1$；$a^{100} - 1$.
(2)①$\because (2 - 1)(2^{199} + 2^{198} + 2^{197} + \cdots + 2^{2} + 2 + 1) = 2^{200} - 1$，$\therefore 2^{199} + 2^{198} + 2^{197} + \cdots + 2^{2} + 2 + 1 = 2^{200} - 1$.
②$\because a^{8} - 1 = (a - 1)(a^{7} + a^{6} + a^{5} + a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1) = 0$，
$\therefore a^{8} = 1$，$\therefore a = \pm 1$，当$a = 1$时，$a^{7} + a^{6} + a^{5} + a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1 = 0$不成立，$\therefore a = - 1$.