《2025年一线调研学业测评八年级数学下册北师大版》

12. 分式$\frac{a}{a^{2}-b^{2}}$,$\frac{b}{a^{2}+2ab + b^{2}}$,$\frac{c}{b^{2}-2ab + a^{2}}$的最简公分母是（ ）
A. $(a - b)(a + b)$
B. $(a - b)(a + b)^{2}$
C. $(a - b)^{2}(a + b)^{2}$
D. $(a - b)^{2}(a + b)$

答案： C

13. 化简$\frac{2b}{a^{2}-b^{2}}+M$的结果为$\frac{1}{a - b}$，则$M$为（ ）
A. $\frac{1}{a - b}$
B. $\frac{a}{a - b}$
C. $\frac{1}{a + b}$
D. $\frac{a}{a + b}$

答案： C

14. 若$x = - 1$，$y = 2$，则$\frac{2x}{x^{2}-64y^{2}}-\frac{1}{x - 8y}$的值等于（ ）
A. $-\frac{1}{17}$
B. $\frac{1}{17}$
C. $\frac{1}{16}$
D. $\frac{1}{15}$

答案： D [解析]原式=$\frac{2x}{(x+8y)(x−8y)}-\frac{x + 8y}{(x+8y)(x−8y)}=\frac{2x - x - 8y}{(x+8y)(x−8y)}=\frac{1}{x + 8y}$.
当x=−1,y=2时,原式=$\frac{1}{−1+16}$=$\frac{1}{15}$.

15. 如图，在数轴上，$A$，$B$两点分别表示$-\frac{2}{1 + a}$，$\frac{a^{2}}{a^{2}+a}$，若$a$表示正整数，则$AB$的长可以是（ ）
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{7}{9}$
C. $\frac{14}{13}$
D. 4

答案： C

16. 已知$\frac{M}{x^{2}-y^{2}}=\frac{2xy - y^{2}}{x^{2}-y^{2}}+\frac{x - y}{x + y}$，则$M=$______.

答案： $x^{2}$ [解析]
∵$\frac{2xy - y^{2}}{x^{2}-y^{2}}+\frac{x - y}{x + y}=\frac{2xy - y^{2}+x^{2}-2xy + y^{2}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{M}{x^{2}-y^{2}}$，
∴M=$x^{2}$.

17. (乐山中考)已知$\frac{A}{x - 1}-\frac{B}{2 - x}=\frac{2x - 6}{(x - 1)(x - 2)}$，求$A$，$B$的值.

答案： 解:$\frac{A}{x−1}$−$\frac{B}{2−x}$=$\frac{A(x−2)+B(x−1)}{(x−1)(x−2)}$=$\frac{(A+B)x−2A−B}{(x−1)(x−2)}$=$\frac{2x - 6}{(x−1)(x−2)}$，
∴$\begin{cases}A + B = 2\\-2A - B = - 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}A = 4\\B = - 2\end{cases}$.

18. 甲、乙两人两次同时在同一家超市购买糖果，两次购买糖果的价格分别是每千克$a$元和$b$元$(a\neq b)$，甲每次购买10千克糖果，乙每次花10元钱购买糖果.
（1）甲两次购买糖果共付款____________元，乙两次共购买____________千克糖果.（用含$a$，$b$的代数式表示）
（2）请你判断甲、乙两人的购买方式哪一种购买的平均价格更低？请说明理由.

答案： 解:
(1)$10(a + b)$　($\frac{10}{a}$+$\frac{10}{b}$)
(2)根据题意，得甲买糖果的平均价格为$\frac{10(a+b)}{20}$=$\frac{a+b}{2}$(元)；乙买糖果的平均价格为$\frac{20}{\frac{10}{a}+\frac{10}{b}}$=$\frac{2ab}{a+b}$(元).
　
∵$\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}$=$\frac{(a+b)^{2}-4ab}{2(a+b)}$=$\frac{(a−b)^{2}}{2(a+b)}$＞0，
　
∴乙买糖果的平均价格更低.

19. （1）观察下列各式：$\frac{1}{6}=\frac{1}{2\times3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}=\frac{1}{3\times4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{20}=\frac{1}{4\times5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{30}=\frac{1}{5\times6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\cdots$，由此可推测$\frac{1}{42}=$____________.
（2）请猜想能表示（1）的特点的一般规律（用含字母$m$的等式表示出来），并验证你的猜想.

答案： 解:
(1)$\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$
(2)猜想:$\frac{1}{m(m+1)}$=$\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}$(m≠0且m≠−1).验证:$\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}$=$\frac{m+1}{m(m+1)}$−$\frac{m}{m(m+1)}$=$\frac{m+1−m}{m(m+1)}$=$\frac{1}{m(m+1)}$.