《2025年一线调研学业测评八年级数学下册北师大版》

12. (西宁中考) 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将 $2a - 3ab - 4 + 6b$ 因式分解.
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式 $=(2a - 3ab)-(4 - 6b)=a(2 - 3b)-2(2 - 3b)=(2 - 3b)(a - 2)$.
解法二：原式 $=(2a - 4)-(3ab - 6b)=2(a - 2)-3b(a - 2)=(a - 2)(2 - 3b)$.
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法.
分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将 $x^{2}-a^{2}+x + a$ 因式分解.
【挑战】（2）请用分组分解法将 $ax + a^{2}-2ab - bx + b^{2}$ 因式分解.
【应用】（3）“赵爽弦图” 是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理. 如图，“赵爽弦图” 是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形. 若直角三角形的两条直角边长分别是 $a$ 和 $b(a＞b)$，斜边长是 3，小正方形的面积是 1. 根据以上信息，先将 $a^{4}-2a^{3}b + 2a^{2}b^{2}-2ab^{3}+b^{4}$ 因式分解，再求值.

答案： 解：
(1)原式$=(x^{2}-a^{2})+(x + a)=(x + a)(x - a)+(x + a)=(x + a)(x - a + 1)$。
(2)原式$=(ax - bx)+(a^{2}-2ab + b^{2})=x(a - b)+(a - b)^{2}=(a - b)(x + a - b)$。
(3)原式$=(a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4})-(2ab^{3}+2a^{3}b)=(a^{2}+b^{2})^{2}-2ab(a^{2}+b^{2})=(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2}-2ab)=(a^{2}+b^{2})(a - b)^{2}$。
$\because$直角三角形的两条直角边长分别是$a$和$b(a＞b)$，斜边长是$3$，小正方形的面积是$1$，$\therefore a^{2}+b^{2}=3^{2}=9$，$(a - b)^{2}=1$。$\therefore$原式$=9$。