《2025年一线调研学业测评八年级数学下册北师大版》

8. 如图，在x轴、y轴上分别截取OA，OB，使OA = OB，再分别以点A，B为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧，两弧交于点P. 若点P的坐标为(a，2a - 3)，则a的值为____.

答案： 8.3

9. 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC的面积是56，AB = 20，AC = 8，DE的长为____.

答案： 9.4

10. 如图，点D是△ABC的边AC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，再过点D作DG//AB，交BC于点G，且DE = DF.
（1）求证：DG = BG.
（2）求证：BD垂直平分线段EF.

答案： 10.证明:
(1)连接BD.
∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE = DF，
∴∠ABD = ∠DBC.
又
∵DG//AB，
∴∠ABD = ∠BDG.
∴∠BDG = ∠DBC.
∴DG = BG.
(2)由
(1)知，∠BED = ∠BFD = 90°，∠ABD = ∠DBC，BD = BD，
∴△BDE≌△BDF(AAS).
∴BE = BF.又
∵DE = DF，
∴BD垂直平分线段EF.

11. 已知：OP平分∠AOB，∠DCE的顶点在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G.
（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系：____.
（2）如图2，若∠AOB = 120°，∠DCE = ∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并加以证明.
（3）若∠AOB = α，当∠DCE满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立？请直接写出∠DCE满足的条件.

答案：
11.解:
(1)CF = CG
(2)CF = CG.证明:如图，过点C作CM⊥OA于点M，作CN⊥OB于点N.
∵OC平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB = 120°，
∴CM = CN，∠AOC = 60°，∠MCN = 360° - ∠CMO - ∠CNO - ∠AOB = 60°.
又
∵∠DCE = ∠AOC = 60°，
∴∠MCN = ∠DCE.
∴∠MCF = ∠NCG.在△MCF和△NCG中，$\begin{cases}\angle CMF=\angle CNG\\CM = CN\\\angle MCF=\angle NCG\end{cases}$，
∴△MCF≌△NCG(ASA).
∴CF = CG.
(3)∠DCE = 180° - α.
提示:如图，
∵OC平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，
∴CM = CN，∠CMO = ∠CNO = 90°.
∵∠AOB = α，
∴∠MCN = 360° - ∠CMO - ∠CNO - ∠AOB = 180° - α.
∵∠DCE = 180° - α，
∴∠MCN = ∠DCE.
∴∠MCF = ∠NCG.在△MCF和△NCG中，$\begin{cases}\angle CMF=\angle CNG\\CM = CN\\\angle MCF=\angle NCG\end{cases}$，
∴△MCF≌△NCG(ASA).
∴CF = CG.