《2025年一线调研学业测评八年级数学下册北师大版》

13. 若长方形的周长为 16，其邻边$a$，$b$为整数，且满足$a^{2}+b^{2}+3ab = 76$，则长方形的面积为（ ）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12

答案： D

14. 若$a=\frac{3}{8}x - 20$，$b=\frac{3}{8}x - 18$，$c=\frac{3}{8}x - 16$，则$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - ac - bc$的值为（ ）
A. 12
B. 24
C. 27
D. 54

答案： A 【解析】由题意，得$a - b = - 2$，$a - c = - 4$，$b - c = - 2$.$a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = \frac{1}{2}(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc)=\frac{1}{2}[(a^2 - 2ab + b^2)+(b^2 - 2bc + c^2)+(a^2 - 2ac + c^2)]=\frac{1}{2}[(a - b)^2+(b - c)^2+(a - c)^2]=\frac{1}{2}×(4 + 4 + 16)=12$.

15. 分解因式：$(x - 1)(x - 2)+\frac{1}{4}=$__________.

答案： $(x - \frac{3}{2})^2$

16. 把下列各式因式分解：
（1）$2x^{3}y - 4x^{2}y^{2}+2xy^{3}$；
（2）$x^{2}(y^{2}-1)+2x(y^{2}-1)+(y^{2}-1)$；
（3）$(x^{2}+4)^{2}-16x^{2}$；
（4）$m^{4}-2m^{2}+1$.

答案：
(1)$2xy(x - y)^2$
(2)$(x + 1)^2(y + 1)(y - 1)$
(3)$(x + 2)^2(x - 2)^2$
(4)$(m - 1)^2(m + 1)^2$

17. 若$a$，$b$，$c$是直角三角形$ABC$的三边长，且$a^{2}+b^{2}+c^{2}+200 = 12a + 16b + 20c$，求$\triangle ABC$三条角平分线的交点到一条边的距离.

答案： 解：$\because a^2 + b^2 + c^2 + 200 = 12a + 16b + 20c$，$\therefore a^2 - 12a + 36 + b^2 - 16b + 64 + c^2 - 20c + 100 = 0$.$\therefore (a - 6)^2+(b - 8)^2+(c - 10)^2 = 0$.$\therefore a - 6 = 0$，$b - 8 = 0$，$c - 10 = 0$.$\therefore a = 6$，$b = 8$，$c = 10$.
三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，设为$h$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ah+\frac{1}{2}bh+\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}(a + b + c)h=\frac{1}{2}ab$.$\therefore \frac{1}{2}×(6 + 8 + 10)h=\frac{1}{2}×6×8$，解得$h = 2$.
故$\triangle ABC$三条角平分线的交点到一条边的距离为2.

18. 已知$a$，$b$，$c$为$\triangle ABC$的三条边的长.
（1）证明：$a^{2}-2ac + c^{2}-b^{2}＜0$.
（2）当$a$，$b$，$c$满足条件$a^{2}+2ac - b^{2}-2bc = 0$时，请判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由.

答案： 解：
(1)$\because a$，$b$，$c$为$\triangle ABC$的三条边的长，$\therefore a - c + b＞0$，$a - c - b＜0$，$\therefore a^2 - 2ac + c^2 - b^2=(a - c + b)(a - c - b)＜0$.
(2)$\because a^2 + 2ac - b^2 - 2bc = 0$，$\therefore a^2 - b^2 + 2ac - 2bc=(a + b)(a - b)+2c(a - b)=(a + b + 2c)(a - b)=0$.
$\therefore a = b$.$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形.