《2025年一线调研学业测评八年级数学下册北师大版》

9. 如图，四边形ABCD中，∠DAB=90°，AB=AD，BE⊥AC于点E，CD⊥AC于点C，若AE=1，△ABC的面积为8，则AB的长为（ ）

A. $\sqrt{17}$
B. $\sqrt{15}$
C. 3
D. 3$\sqrt{2}$

答案： A

10. 分类讨论思想 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5. 线段PQ=AB，且点P，Q分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动. 问：当点P位于AC的什么位置时，以P，Q，A为顶点的三角形与△ABC全等？并说明理由.

答案： 解：当点 P 位于 AC 的中点处或当点 P 与点 C 重合时，以 P，Q，A 为顶点的三角形与△ABC 全等. 理由：由题意，得∠C = ∠QAP = 90°. ①当点 P 位于 AC 的中点处，即 PA = $\frac{1}{2}$AC = 5 = BC 时，
∵PA = BC，PQ = BA，
∴Rt△QPA≌Rt△ABC(HL). ②当点 P 与点 C 重合，即 AP = CA 时，
∵AP = CA，PQ = AB，
∴Rt△PQA≌Rt△ABC(HL). 综上所述，当点 P 位于 AC 的中点处或当点 P 与点 C 重合时，以 P，Q，A 为顶点的三角形与△ABC 全等.

11. 如图，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于点E，CF⊥EF于点F，AE=CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF.

答案： 证明：连接 BD，
∵∠BAD = ∠BCD = 90°，在 Rt△ABD 和 Rt△CBD 中，$\begin{cases}AB = BC,\\BD = BD,\end{cases}$
∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL).
∴AD = CD.
∵AE⊥EF 于点 E，CF⊥EF 于点 F，
∴∠E = ∠F = 90°. 在 Rt△ADE 和 Rt△CDF 中，$\begin{cases}AE = CF,\\AD = CD,\end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).

12. 构建数学模型 如图，已知在△ABC中，∠BAC=45°，在△ABC的高BD上取点E，使AE=BC.
（1）求证：CD=DE.
（2）试判断AE与BC的位置关系，并说明理由.
（3）连接CE，若AD=2，AE平分∠BAC，则△CDE的周长为______.

答案：

(1)证明：
∵BD 是△ABC 的高，
∴∠ADE = ∠BDC = 90°.
∵∠BAC = 45°，
∴△ABD 是等腰直角三角形.
∴AD = BD. 在 Rt△ADE 和 Rt△BDC 中，$\begin{cases}AD = BD,\\AE = BC,\end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△BDC(HL).
∴CD = DE.
(2)解：AE⊥BC，理由：如图，延长 AE 交 BC 于点 F，由
(1)知，Rt△ADE≌Rt△BDC，
∴∠EAD = ∠EBF.
∵∠AED = ∠BEF，
∴∠BFE = ∠ADE = 90°.
∴AE⊥BC.

(3)2$\sqrt{2}$