《2025年一线调研学业测评八年级数学下册北师大版》

12. 已知关于$x$的方程$\frac{3}{x - 1}=\frac{x + a}{x(x - 1)}$的增根是$x = 1$，则字母$a$的值为（ ）
A. -1
B. 1
C. -2
D. 2

答案： D

13. 已知点$P(1 - 2a,a - 2)$关于$y$轴的对称点在第四象限内，且$a$为整数，则关于$x$的分式方程$\frac{x}{x - a}+\frac{a}{x - a}=2$的解是（ ）
A. $x=3$
B. $x=1$
C. $x=5$
D. 不能确定

答案： A

14. 若关于$x$的分式方程$\frac{x}{x - 3}-2=\frac{k}{x - 3}$的解为正数，则$k$的取值范围为____________.

答案： k＜6且k≠3

15. 化简代数式$1-\frac{x - 1}{x}\div\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x}$，并求出当$x$为何值时，该代数式的值为2.

答案： 解:原式=1-$\frac{x−1}{x}$.$\frac{x(x+2)}{(x+1)(x−1)}$=一$\frac{1}{x+1}$.由题意，得一$\frac{1}{x+1}$=2.解得x=−$\frac{3}{2}$.经检验,x=一$\frac{3}{2}$是原方程的根.
∴当x=−$\frac{3}{2}$时，该代数式的值为2.

16. 如图，点$A$，$B$在数轴上，它们所对应的数分别是$\frac{2}{x - 2}$和$\frac{1 - x}{2 - x}$.
（1）当$x = 1.5$时，求$AB$的长.
（2）当点$A$到原点的距离比点$B$到原点的距离多5时，求$x$的值.

答案： 解:
(1)当x=1.5时,$\frac{2}{x−2}$=$\frac{2}{1.5−2}$=−4,$\frac{1−x}{2−x}$=
　　$\frac{1−1.5}{2−1.5}$=−1,
∴AB=−1−(−4)=3,即AB的长为3.
(2)由题意可得$\frac{1−x}{2−x}$$\frac{2}{x−2}$=5.解得x=1.75.经检验，x=1.75是原方程的根.，
∴x的值为1.75.

17. 观察下列方程的特征及其解的特点：
①$x+\frac{2}{x}=-3$的解为$x_1=-1$，$x_2=-2$；
②$x+\frac{6}{x}=-5$的解为$x_1=-2$，$x_2=-3$；
③$x+\frac{12}{x}=-7$的解为$x_1=-3$，$x_2=-4$.
解答下列问题：
（1）请你写出一个符合上述特征的方程为____________，其解为____________.
（2）根据这类方程的特征，写出第$n$个方程为____________________，其解为____________________.

答案：
(1)(答案不唯一)x十$\frac{20}{x}$=−9　x1=−4,x2=−5
(2)x+$\frac{n²+n}{x}$=−(2n+1)　x1=−n,x2=−n−1

18. 已知关于$x$的分式方程$\frac{x - a}{x - 1}-\frac{3}{x}=1$.
（1）若方程的增根为$x = 1$，求$a$的值.
（2）若方程有增根，求$a$的值.
（3）若方程无解，求$a$的值.

答案： 解:方程两边都乘x(x−1),得x(x−a)−3(x−1)=
　x(x−1),即(a+2)x=3.
(1)
∵方程的增根为x=1,
∴(a+2)×1=3.解得a=1.
(2)
∵方程有增根，,
∴x(x−1)=0.
∴x=0或x=1.当x=0时,(a+2)x=0≠3,故不成立;当x=1时,(a+2)×1=3,解得a=1.综上所述，若方程有增根，则a 的值为1.
(3)要使方程无解，应分两种情况:①当α+2=0时，a=−2;②当a+2≠0时，要使方程无解，则x(x−1)
　=0,此时由
(2)可得a=1.综上所述，若方程无解，则a 的值为−2或1.