《2025年一线调研学业测评八年级数学下册北师大版》

10. 如图，在等边△ABC中，AB = 10，P为BC上任意一点（不与端点B，C重合），过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E. 若PE = 2$\sqrt{3}$，则PD的长为（ ）

A. 3
B. 2$\sqrt{3}$
C. 5$\sqrt{3}-6$
D. 3$\sqrt{3}$

答案： D

11. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作. 小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可. 如图①，衣架杆OA = OB = 18cm. 若衣架收拢时，∠AOB = 60°，如图②，则此时A，B两点之间的距离是______cm.

答案： 18

12. 如图，在△ABC中，∠ABC = 60°，BC = 10，点D在BA的延长线上，CA = CD，BD = 6，则AD = ______.

答案：
2 [解析]过C点作CE⊥AD于点E，
∵CA = CD，
∴AD = 2DE.
∵∠ABC = 60°，∠CEB = 90°，
∴∠BCE = 30°，
∴BE = $\frac{1}{2}$BC = 5.
∵BD = 6，
∴DE = BD - BE = 6 - 5 = 1.
∴AD = 2.

13. 如图，在△ABC中，AB = AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC = ∠E = 60°，若BE = 9cm，DE = 3cm，则BC = ______cm.

答案： 12

14. 如图，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，AC的垂线MG，MN，NG，三条垂线围成△MNG.
（1）求证：△MNG是等边三角形.
（2）若AM = 2，求△MNG的周长.

答案： （1）证明:
∵AB⊥MG，AC⊥NG，
∴∠BAG = ∠ACG = 90°.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC = 60°.
∴∠CAG = ∠BAG - ∠BAC = 30°.
∴∠G = 180° - ∠ACG - ∠CAG = 60°. 同理可证∠M = ∠N = 60°，
∴△MNG是等边三角形.
（2）解:由（1）得MG = MN = NG. 在Rt△ABM中，∠M = 60°，
∴∠MBA = 30°. 在△ABM与△CAG中，$\begin{cases}∠M = ∠G \\∠ABM = ∠CAG \\AB = CA\end{cases}$，
∴△ABM≌△CAG（AAS）.
∴GA = MB.
∵∠MBA = 30°，AM = 2，AB⊥MG，
∴BM = 4.
∴MG = GA + AM = BM + AM = 6.
∴△MNG的周长为3MG = 18.

15. 课堂上同学们用两个含30°角的全等三角尺拼成了一个等边三角形，嘉嘉发现了在直角三角形中，30°所对的直角边与斜边之间的数量关系.
（1）请你补充嘉嘉发现的结论：在直角三角形中，______________________________.
（2）嘉嘉已画出图形并写出已知，请你将求证内容及对应的证明过程补充完整.
已知：如图1，△ABC中，∠ACB = 90°，∠BAC = 30°，
求证：BC = ________.
（3）请运用以上结论解决下列问题.
如图2，在△ABC中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，若BC = 2，D是AB边上的动点，则CD+$\frac{1}{2}$AD的最小值为______.

答案：
解:（1）如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
（2）$\frac{1}{2}$AB
证明:延长BC到点D，使CD = BC，连接AD.
∵∠ACB = 90°，∠BAC = 30°，
∴∠ACD = 90°，∠B = 60°.
∵BC = CD，∠ACB = ∠ACD，AC = AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）.
∴AB = AD.
∴△ABD是等边三角形.
∴BD = AB，BC = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}$AB.
（3）3