《2025年一线调研学业测评八年级数学下册北师大版》

7. 已知非零实数$x$满足$4x^{2} - 4x + 1 = 0$，求$2x + \frac{1}{2x}$的值.

答案： 解:
∵4x^2−4x+1=0,
∴2x−2+$\frac{1}{2x}$=0，
∴2x+$\frac{1}{2x}$=2.

8. 已知$a + b + c = 0$，求$c(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + b(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}) + a(\frac{1}{b} + \frac{1}{c})$的值.

答案： 解:原式=c($\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$)−1+b($\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$)−1 +a($\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$)−1=($\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$)(c+b+a)−3.
∵a+b+c=0,
∴原式=−3.

9. 已知$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6} \neq 0$，求$\frac{x + y - z}{x - y + z}$的值.

答案： 解:
∵$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}$≠0,
∴令$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}$=k(k≠0).
∴x=3k,y=4k,z=6k.
∴原式=$\frac{3k+4k−6k}{3k−4k+6k}$=$\frac{1}{5}$

10. 已知实数$a,b$满足$a:b = 2:3$，求代数式$\frac{a}{a + 2b} - \frac{4b^{2}}{a^{2} + 2ab}$的值.

答案： 解:原式=$\frac{a^2}{a(a+2b)}-\frac{4b^2}{a(a+2b)}$=$\frac{a−2b}{a}$.
∵a:b=2:3,
∴设a=2k(k≠0),则b=3k.
∴原式=$\frac{2k−6k}{2k}$=−2.

11. 已知$x + y = 12,xy = 9$，求$\frac{x^{2} + 3xy + y^{2}}{x^{2}y + xy^{2}}$的值.

答案： 解:原式=$\frac{x^2 + 2xy + y^2+xy}{xy(x + y)}=\frac{(x + y)^2+xy}{xy(x + y)}$.当x+y=12,xy=9时，原式=$\frac{12^2+9}{9×12}$=$\frac{17}{12}$.

12. 已知$a^{2} - 3a + 1 = 0$，求$\frac{a^{2}}{a^{4} + 1}$的值.

答案： 解:由a^2−3a+1=0可知a≠0.将其变形为a^2+1=3a.两边同时除以a,得a+$\frac{1}{a}$=3.
∴$\frac{a^4 + 1}{a^2}=a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2 = 7$.$\therefore\frac{a^2}{a^4 + 1}=\frac{1}{7}$.