《2025年一线调研学业测评八年级数学下册北师大版》

13. (内江中考)已知非负实数$a$，$b$，$c$满足$\frac{a - 1}{2}=\frac{b - 2}{3}=\frac{3 - c}{4}$，设$S = a + 2b + 3c$的最大值为$m$，最小值为$n$，则$\frac{n}{m}$的值为__________.

答案： $\frac{11}{16}$ [解析]设$\frac{a - 1}{2}=\frac{b - 2}{3}=\frac{3 - c}{4}=k$，则$a = 2k + 1$，$b = 3k + 2$，$c = 3 - 4k$，$\therefore S=a + 2b + 3c=2k + 1+2(3k + 2)+3(3 - 4k)=-4k + 14$。$\because a$，$b$，$c$为非负实数，$\therefore\begin{cases}2k + 1\geqslant0\\3k + 2\geqslant0\\3 - 4k\geqslant0\end{cases}$，解得$-\frac{1}{2}\leqslant k\leqslant\frac{3}{4}$。$\therefore$当$k = -\frac{1}{2}$时，$S$取最大值，当$k=\frac{3}{4}$时，$S$取最小值。$\therefore m=-4\times(-\frac{1}{2})+14 = 16$，$n=-4\times\frac{3}{4}+14 = 11$。$\therefore\frac{n}{m}=\frac{11}{16}$。

14. 设一次函数$y_1=(k - 1)x + 5 - 2k$，$y_2=(k + 1)x + 1 - 2k$.
(1)若函数$y_1$的图象与$y$轴交于点$(0,-3)$，函数$y_1$的表达式为___________.
(2)若函数$y_2$图象经过第一、二、三象限，求$k$的取值范围.
(3)当$x＞m$时，$y_1＜y_2$，求$m$的取值范围.

答案： 解：
(1)$y_1 = 3x - 3$ 提示：$\because$函数$y_1$的图象与$y$轴交于点$(0,-3)$，$\therefore - 3=(k - 1)\times0+5 - 2k$，解得$k = 4$。$\therefore y_1 = 3x - 3$。
(2)$\because$函数$y_2$图象经过第一、二、三象限，$y_2=(k + 1)x+1 - 2k$，$\therefore\begin{cases}k + 1＞0\\1 - 2k＞0\end{cases}$，解得$-1＜k＜\frac{1}{2}$。
(3)当$y_1＜y_2$，即$(k - 1)x+5 - 2k＜(k + 1)x+1 - 2k$时，$x＞2$。$\because$当$x＞m$时，$y_1＜y_2$，$\therefore m\geqslant2$。

15. (荆州中考)已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}x + 1 + 2a＞0\\x - 3 - 2a＜0\end{cases}(a＞-1)$
(1)当$a=\frac{1}{2}$时，解此不等式组.
(2)若不等式组的解集中恰含三个奇数，求$a$的取值范围.

答案：
解：
(1)当$a=\frac{1}{2}$时，不等式组可转化为$\begin{cases}x + 2＞0\\x - 4＜0\end{cases}$，解得$-2＜x＜4$。
(2)$\because a＞-1$，$\therefore - 2a - 1＜1$，$2a + 3＞1$。$\therefore$不等式组的解集为$-2a - 1＜x＜2a + 3$，且一定含奇数解$1$。令$b=-2a - 1$，$c = 2a + 3$，（$b$，$c$为关于$a＞-1$时的一段一次函数图象）。则$b＜x＜c$。如图所示，由图象可知，当$a = 0$时，$b=-1$，$c = 3$，此时$-1＜x＜3$，恰好不能取到$-1$，$3$；当$a = 1$时，$b=-3$，$c = 5$，此时$-3＜x＜5$，恰好不能取到$-3$，$5$。$\because$不等式组的解集中恰含三个奇数，$\therefore0＜a\leqslant1$。

16. (通辽中考)为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价$8.5$折出售；
乙：一次购买商品总额不超过$300$元的按原价付费，超过$300$元的部分打$7$折.
设需要购买体育用品的原价总额为$x$元，去甲商店购买实付$y_{甲}$元，去乙商店购买实付$y_{乙}$元，其函数图象如图所示.
(1)分别求$y_{甲}$，$y_{乙}$关于$x$的函数关系式.
(2)两图象交于点$A$，求点$A$坐标.
(3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算.

答案： 解：
(1)由题意，得$y_{甲}=0.85x$。当$0\leqslant x\leqslant300$时，$y_{乙}=x$。当$x＞300$时，$y_{乙}=300+(x - 300)\times0.7=0.7x + 90$，则$y_{乙}=\begin{cases}x(0\leqslant x\leqslant300)\\0.7x + 90(x＞300)\end{cases}$。
(2)令$0.85x=0.7x + 90$，解得$x = 600$。将$x = 600$代入$y = 0.85x$，得$y = 0.85\times600 = 510$，即点$A$的坐标为$(600,510)$。
(3)当$x＜600$时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算。当$x = 600$时，两家体育专卖店购买体育用品一样合算。当$x＞600$时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算。