《2025年一线调研学业测评八年级数学下册北师大版》

9. (阜新中考改编)如图，在△ABC中，∠B = 90°，AB = BC = 4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，则点D到BC的距离是（ ）

A. √3
B. 2
C. 2√2
D. 2√3

答案： B

10. 如图，已知△ABC中，∠CAB = 20°，∠ABC = 30°，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论中错误的是（ ）

A. C′B′⊥BB′
B. BC = B′C′
C. AC//C′B′
D. ∠ABB′ = ∠ACC′

答案： A

11. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 3. 将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，连接CE，则△CBE的面积为____.

答案： $\frac{6}{5}$

12. 如图，△ABC中，AD是中线，将△ACD旋转后与△EBD重合.
（1）旋转中心是点____，旋转了____°.
（2）如果AB = 7，AC = 4，求中线AD长的取值范围.

答案： 解:
(1)D　180
(2)$\because$将$\triangle ACD$旋转后能与$\triangle EBD$重合，$\therefore BE = AC = 4$，$DE = AD$. 在$\triangle ABE$中，由三角形的三边关系得，$AB - BE\lt AE\lt AB + BE$，$\because AB = 7$，$\therefore 3\lt AE\lt11$，即$3\lt2AD\lt11$.$\therefore 1.5\lt AD\lt5.5$，即中线$AD$长的取值范围是$1.5\lt AD\lt5.5$.

13. 如图，△ABC中，∠ABC = 90°，BA = BC = 2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC，连接BD，求BD²的值.

答案：
解:如图，连接$AD$，设$AC$与$BD$交于点$O$，$\because$将$\triangle ABC$绕点$C$逆时针旋转$60^{\circ}$得到$\triangle DEC$，$\therefore CA = CD$，$\angle ACD = 60^{\circ}$.$\therefore\triangle ACD$为等边三角形.$\therefore AD = CD$，$\angle DAC=\angle DCA=\angle ADC = 60^{\circ}$.
$\because\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = BC = 2$，$\therefore AC = CD = 2\sqrt{2}$.
$\because AB = BC$，$CD = AD$，$\therefore BD$垂直平分$AC$.$\therefore BO = CO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，$OD=\sqrt{CD^{2}-CO^{2}}=\sqrt{6}$.$\therefore BD=\sqrt{2}+\sqrt{6}$.$\therefore BD^{2}=(\sqrt{2}+\sqrt{6})^{2}=8 + 4\sqrt{3}$.

14. (绵阳中考)如图，点M是∠ABC的边BA上的动点，BC = 6，连接MC，并将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MN.
（1）作MH⊥BC，垂足H在线段BC上，当∠CMH = ∠B时，判断点N是否在直线AB上，并说明理由.
（2）若∠ABC = 30°，NC//AB，求以MC，MN为邻边的正方形的面积S.

答案：
解:
(1)结论:点$N$在直线$AB$上，理由如下:
$\because\angle CMH=\angle B$，$\angle CMH+\angle MCH = 90^{\circ}$，$\therefore\angle B+\angle MCH = 90^{\circ}$.$\therefore\angle BMC = 90^{\circ}$，即$CM\perp AB$.$\therefore$线段$CM$绕点$M$逆时针旋转$90^{\circ}$落在直线$BA$上，即点$N$在直线$AB$上.
(2)作$CD\perp AB$于点$D$，
$\because MC = MN$，$\angle CMN = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle MCN = 45^{\circ}$.$\because NC// AB$，$\therefore\angle BMC = 45^{\circ}$.$\because BC = 6$，$\angle B = 30^{\circ}$，$\therefore CD = 3$，$MC=\sqrt{2}CD = 3\sqrt{2}$.$\therefore S = MC^{2}=18$，即以$MC$，$MN$为邻边的正方形的面积$S = 18$.