《2025年一线调研学业测评八年级数学下册北师大版》

8. 如图，A，B两点相距14千米，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA = 8千米，CB = 6千米，现在要在AB上建一个供水站E，使得C，D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1）E站应建在距A站_____千米处.
（2）DE和EC垂直吗？说明理由.

答案： 解：
(1)$6$ 提示：设$AE$的长为$x$千米，
∵$C$，$D$两村到$E$站的距离相等，
∴$DE = CE$.
∴$DE^{2}=CE^{2}$.
由勾股定理，得$8^{2}+x^{2}=6^{2}+(14 - x)^{2}$，解得$x = 6$.
故$E$点应建在距$A$站$6$千米处.
(2)$DE\perp CD$，理由如下：
在$Rt\triangle DAE$和$Rt\triangle EBC$中，$\begin{cases}DE = EC,\\AD = BE,\end{cases}$
∴$Rt\triangle DAE\cong Rt\triangle EBC(HL)$.
∴$\angle D=\angle BEC$.
∵$\angle D+\angle AED = 90^{\circ}$.
∴$\angle BEC+\angle AED = 90^{\circ}$.
∴$\angle DEC = 90^{\circ}$.
∴$DE\perp EC$.

9. 如图，电信部门要在公路L旁修建一座移动信号发射塔. 按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（　　）

A. A处
B. B处　
C. C处　
D. D处

答案： C

10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 3，AC = 4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（　　）

A. $\frac{7}{6}$　
B. $\frac{5}{6}$　　
C. $\frac{5}{3}$　　
D. $\frac{4}{3}$

答案： A

11. 如图，在△ABC中，∠C = 36°，∠ABC = 110°，且DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，DE = DF，求∠ADB的度数.

答案： 解：
∵$\angle C = 36^{\circ}$，$\angle ABC = 110^{\circ}$，
∴$\angle BAC=180^{\circ}-36^{\circ}-110^{\circ}=34^{\circ}$.
∵$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，$DE = DF$，
∴$AD$平分$\angle BAC$.
∴$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 17^{\circ}$.
∴$\angle ADB=180^{\circ}-110^{\circ}-17^{\circ}=53^{\circ}$.

12. 在四边形ABCD中，AB = BC = CD = DA，∠B = 60°，连接AC.
（1）如图1，点E，F分别在边BC，CD上，且BE = CF. 求证：
①△ABE≌△ACF.
②△AEF是等边三角形.
（2）若点E在BC的延长线上，在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论（图2备用）.

答案：

(1)证明：①
∵$AB = BC$，$\angle B = 60^{\circ}$，
∴$\triangle ABC$是等边三角形.
∴$AB = AC$. 易得$\triangle ACD$是等边三角形.
∴$\angle B=\angle ACF = 60^{\circ}$. 又
∵$BE = CF$，$AB = AC$，
∴$\triangle ABE\cong\triangle ACF$.
②
∵$\triangle ABE\cong\triangle ACF$，
∴$AE = AF$，$\angle BAE=\angle CAF$.
∵$\angle BAE+\angle CAE = 60^{\circ}$，
∴$\angle CAF+\angle CAE = 60^{\circ}$，即$\angle EAF = 60^{\circ}$.
∴$\triangle AEF$是等边三角形.
(2)解：存在. 证明：如图，在$CD$的延长线上取点$F$，使$CF = BE$. 与
(1)①同理可证得$\triangle ABE\cong\triangle ACF$，
∴$AE = AF$，$\angle BAE=\angle CAF$.
∴$\angle BAE-\angle CAE=\angle CAF-\angle CAE$，即$\angle BAC=\angle EAF = 60^{\circ}$.
∴$\triangle AEF$是等边三角形.