《2025年一线调研学业测评八年级数学下册北师大版》

9. 如图是跷跷板的示意图，支柱$OC$与地面垂直，点$O$是$AB$的中点，$AB$绕着点$O$上下转动，当$A$端落地时，$\angle OAC = 25^{\circ}$，跷跷板上下可转动的最大角度（即$\angle A'OA$）是（ ）

A. $25^{\circ}$
B. $50^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $80^{\circ}$

答案： B

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 40^{\circ}$，$\angle C = 60^{\circ}$，$D$为$AC$边上一点，$DE\perp BC$于点$E$. 若$AD = BD$，$BE = 2$，则$AB$的长为（ ）

A. $\sqrt{3}$
B. 2
C. $2\sqrt{3}$
D. 4

答案： D

11. 如图，$\triangle ABC$是顶角为$36^{\circ}$的等腰三角形，$\triangle DEF$是底角为$36^{\circ}$的等腰三角形，$BC = DE$. 求证：$AB = EF$.

答案：
证明：如图，作BH平分∠ABC交AC于点H，
∵AB = AC，∠A = 36°，
∴∠ABC = ∠ACB = 72°.
∵BH平分∠ABC，
∴∠ABH = ∠A = 36°.
∴∠BHC = ∠ACB = 72°.
∴BC = BH = AH = DE.
又
∵∠A = ∠E = 36°，∠ABH = ∠F = 36°，
∴△HAB≌△DEF(AAS).
∴EF = AB.

12. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$E$，$D$，$F$分别在$AB$，$BC$，$AC$边上，且$BE = CD$，$BD = CF$，过$D$作$DG\perp EF$于$G$. 求证：$EG=\frac{1}{2}EF$.

答案：
证明：连接DE，DF，如图所示，
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C. 在△EBD和△DCF中，
$\begin{cases}BE = CD, \\\angle B=\angle C, \\BD = CF\end{cases}$
∴△EBD≌△DCF(SAS).
∴DE = DF.
又
∵DG⊥EF，
∴DG是等腰三角形DEF的中线.
∴$EG=\frac{1}{2}EF$.

13. 如图，$BD$为$\triangle ABC$的角平分线，且$BD = BC$，$E$为$BD$延长线上一点，$BE = BA$.
(1)$AD$与$CE$相等吗？为什么？
(2)若$\angle BCD = 75^{\circ}$，求$\angle ACE$的度数.
(3)若$\angle BCE = \alpha$，$\angle ACE = \beta$，则$\alpha$，$\beta$之间满足一定的数量关系，请直接写出这个结论.

答案： 解：
(1)AD = CE. 理由：
∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD = ∠CBE. 在△ABD和△EBC中，
$\begin{cases}BA = BE, \\\angle ABD=\angle EBC, \\BD = BC\end{cases}$
∴△ABD≌△EBC(SAS).
∴AD = CE.
(2)
∵BD = BC，∠BCD = 75°，
∴∠BCD = ∠BDC = 75°.
∴∠DBC = ∠ABD = 30°.
∴∠ABC = 60°. 由
(1)知△ABD≌△EBC，
∴∠BAD = ∠BEC.
∵∠ADB = ∠EDC，
∴∠ACE = ∠ABD = 30°.
(3)2α - β = 180°.