《2025年一线调研学业测评八年级数学下册北师大版》

9. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 16cm，以点A为圆心、AC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点B为圆心、BD长为半径画弧，交线段BC于点E. 若BD = CE，则AC的长为（ ）

A. 12cm
B. 13cm
C. 14cm
D. 15cm

答案： A

10. 如图，已知圆柱的底面直径BC = $\frac{6}{\pi}$cm，高AB = 3cm，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为________cm.

答案： 6$\sqrt{2}$

11. 易错题 已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD = $\sqrt{3}$，AD = 1，AB = 2AC，则BC的长为______________.

答案：
2$\sqrt{3}$或2$\sqrt{7}$　[解析]分两种情况:①当∠BAC是锐角时，如图1;②当∠BAC是钝角时，如图2.分别根据勾股定理计算即可.
　　　 　　

12. 已知命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.
（1）写出逆命题：______________________________.
（2）逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”，“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明.

答案：
解:
(1)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为斜边
(2)是真命题.
　　已知:如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD = $\frac{1}{2}AC$，
　求证:∠ABC = 90°
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 证明:
∵BD是AC边上的中线，且BD = $\frac{1}{2}AC$，
∴AD = CD = BD = $\frac{1}{2}AC$.
∴∠A = ∠ABD，∠C = ∠CBD.
∴∠A + ∠C = ∠ABD + ∠CBD，即∠A + ∠C = ∠ABC. 又
∵∠A + ∠C + ∠ABC = 180°，
∴∠ABC = 90°.

13. 如图，在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，CE平分∠ACB.
（1）∠ACE的度数为______.
（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF = 75°，求证：△CFD是直角三角形.

答案：
(1)解:45°　提示:在△ABC中,∠A=30°,∠B=60°,
∴∠ACB=180°−30°−60°=90°.又
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°.
(2)证明:
∵CD⊥AB,∠B=60°,
∴∠BCD=90°−60°=30°,又
∵∠BCE=∠ACE=45°,
∴∠DCF=∠BCE−∠BCD=15°.又
∵∠CDF=75°,
∴∠CFD=180°−75°−15°=90°,
∴△CFD是直角三角形.

14. 如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，AB = 1000km，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC = 600km，BC = 800km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域.
（1）∠ACB的度数为______.
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28km/h，则台风影响该海港持续的时间有______h.

答案： 解:
(1)90°
(2)海港C受台风影响.理由:过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴S_{△ABC} = $\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}CD\cdot AB$.
∴CD = 480km.
∵480km＜500km,
∴海港C受台风影响.
(3)10