《2025年一线调研学业测评八年级数学下册北师大版》

10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 3，AC = 4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为 （ ）

A. $\frac{3}{2}$
B. $\frac{7}{6}$
C. $\frac{25}{6}$
D. 2

答案： B

11. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点. 若点D为BC边的中点，点G为线段EF上一动点，则△CDG的周长的最小值为______．

答案：
11 【解析】连接$AD$，$\because\triangle ABC$是等腰三角形，点$D$是$BC$边的中点，$\therefore AD\perp BC$. $\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\times4AD = 18$. 解得$AD = 9$. $\because EF$是线段$AC$的垂直平分线，$\therefore$点$C$关于直线$EF$的对称点为点$A$. $\therefore AD$的长为$CG + GD$的最小值. $\therefore\triangle CDG$的周长的最小值$=(CG + GD)+CD = AD+\frac{1}{2}BC = 9+\frac{1}{2}\times4 = 11$.

12. 如图，∠A = ∠D = 90°，AB = DC，点E，F在直线BC上，且BE = CF.
（1）求证：∠E = ∠F.
（2）若PO平分∠EPF，则PO与线段BC有什么关系？为什么？

答案：
(1) 证明：$\because BE = CF$，$BC = CB$，$\therefore BF = CE$. 在$Rt\triangle ABF$与$Rt\triangle DCE$中，$\begin{cases}BF = CE\\AB = DC\end{cases}$，$\therefore Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle DCE(HL)$. $\therefore \angle E=\angle F$.
(2) 解：$PO$垂直平分线段$BC$. 理由：由
(1)可知，$\angle E=\angle F$. $\therefore\triangle PEF$为等腰三角形. 又$\because PO$平分$\angle EPF$，$\therefore PO\perp BC$，$EO = FO$. 又$\because EB = FC$，$\therefore BO = CO$. $\therefore PO$垂直平分线段$BC$.

13. 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.
举例：如图1，若PA = PB，则点P为△ABC的准外心.
应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD = $\frac{1}{2}$AB，求∠APB的度数.
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC = 5，AB = 3，准外心P在AC边上，试探究PA的长.

答案：
解：应用：①若$PB = PC$，连接$PB$，则$\angle PCB=\angle PBC$，$\because CD$为等边三角形的高，$\therefore AD = BD$，$\angle PCB = 30^{\circ}$. $\therefore \angle PBD=\angle PBC = 30^{\circ}$. $\therefore PD=\frac{1}{2}PB$. $\therefore DB=\frac{\sqrt{3}}{2}PB$. $\therefore PD=\frac{\sqrt{3}}{3}DB=\frac{\sqrt{3}}{6}AB$，与$PD=\frac{1}{2}AB$矛盾，$\therefore PB\neq PC$.
②若$PA = PC$，连接$PA$，同理可得$PA\neq PC$.
③若$PA = PB$，由$PD=\frac{1}{2}AB$，得$PD = BD$，$\therefore \angle APD = 45^{\circ}$，故$\angle APB = 90^{\circ}$.
探究：$\because BC = 5$，$AB = 3$，$\therefore AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$.
①若$PB = PC$，设$PA = x$，则$x^{2}+3^{2}=(4 - x)^{2}$，$\therefore x=\frac{7}{8}$，即$PA=\frac{7}{8}$.
②若$PA = PC$，则$PA = 2$.
③由图知，在$Rt\triangle PAB$中，$PB＞PA$，$\therefore PA\neq PB$.
综上所述，$PA = 2$或$\frac{7}{8}$.