《2025年学霸提优大试卷五年级数学下册北师大版》

附加题。（共10分）
1. 一个长方体，若长增加4dm，宽和高都不变，则体积增加60dm³；若宽减少3dm，长和高都不变，则体积减少72dm³；若高增加2dm，长和宽都不变，则体积增加80dm³。原来长方体的表面积是多少平方分米？（5分）

答案： 1.$(60÷4 + 72÷3 + 80÷2)×2 = 158(dm^{2})$提示:宽高面的面积:$60÷4 = 15(dm^{2})$;长高面的面积:$72÷3 = 24(dm^{2})$;长宽面的面积:$80÷2 = 40(dm^{2})$。再根据长方体的表面积计算公式即可求出原来长方体的表面积。

2. 强基直通车 探索规律 现有两个大小相同的容器A和容器B（容器足够大），其中容器A注入了2025L水，容器B是空的。按如下过程进行操作：第1次将容器A中$\frac{1}{2}$的水倒入容器B中；第2次将容器B中$\frac{1}{3}$的水倒入容器A中；第3次将容器A中$\frac{1}{4}$的水倒入容器B中；第4次将容器B中$\frac{1}{5}$的水倒入容器A中，…，第2024次将容器B中$\frac{1}{2025}$的水倒入容器A中，最后容器B中的水有( 　　　 )L。（5分）

答案： 2.1012 提示:从题目中可以分析出，两个容器中水的总体积不变，可以设为aL,即$a = 2025$。第1次将容器A中$\frac{1}{2}$的水倒入容器B中,则A容器中有$\frac{1}{2}a$L的水,B容器中有$\frac{1}{2}a$L的水;第2次将容器B中$\frac{1}{3}$的水倒入容器A中,此时将B容器的水看成单位“1”，则B容器中水还剩$\frac{2}{3}$,即B容器中的水有$\frac{1}{2}a×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}a$(L),两个容器中水总共有aL,则A容器中有$\frac{2}{3}a$L;第3次将容器A中$\frac{1}{4}$的水倒入容器B中,此时A容器中剩余$1 - \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$,水有$\frac{2}{3}a×\frac{3}{4}=\frac{1}{2}a$(L),则B容器中水有$\frac{1}{2}a$L;第4次将容器B中$\frac{1}{5}$的水倒入容器A中,此时B容器中有水$\frac{2}{5}a$L,A容器中有水$1 - \frac{2}{5}a=\frac{3}{5}a$(L);…,通过分析发现,奇数次操作后A,B容器中均有$\frac{1}{2}a$L的水,所以第2023次操作后,B容器中水有$\frac{1}{2}a$L,第2024次将容器B中$\frac{1}{2025}$的水倒入容器A中,则B容器中还剩下$1 - \frac{1}{2025}=\frac{2024}{2025}$,则水有$\frac{1}{2}a×\frac{2024}{2025}=\frac{1012}{2025}a$(L),又因为$a = 2025$,所以最后容器B中的水有$\frac{1012}{2025}×2025 = 1012$(L)。