《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

23. ( 10 分) 在$Rt \bigtriangleup ABC$ 中.$\angle ABC = 9 0 ^ { \circ }$,点$D$ 在边$AC$ 上,$CD = AB$. 点$E$ 在$\bigtriangleup ABC$ 的边上或内部,连接$CE、DE$,$\angle ECD = \angle CAB$,$\angle EDC = \frac { 1 } { 2 } \angle ACB$.
( 1 ) 如图 1,当点$E$ 在边$BC$ 上时,连接$BD$.
①$\angle ACB = $45$ ^ { \circ }$;
②求证: $DE = BD$;
( 2 ) 如图 2,当点$E$ 在$\bigtriangleup ABC$ 的内部时,用等式表示线段$CE,BC,AC$ 的数量关系,并证明.

答案： 23.解：
(1)①45 ②证明：
∵∠ECD = ∠CAB，∠ABC = 90°，
∴∠ECD = ∠CAB = 45°，
∵CD = AB，
∴CD = BC，
∴∠CBD =$\frac{180^{\circ}-\angle C}{2}=67.5^{\circ}$.
∵∠EDC =$\frac{1}{2}\angle ACB$，
∴∠EDC = 22.5°，
∴∠BED = ∠C + ∠EDC = 67.5°，
∴∠BED = ∠CBD，
∴DE = BD.
(2)CE = AC - BC，证明如下：在边AC上截取AF = CE，连接BF，在△CDE和△ABF中，$\begin{cases}CE = AF\\\angle ECD = \angle FAB\\CD = AB\end{cases}$
∴△CDE≌△ABF(SAS)，
∴∠EDC = ∠FBA，设∠EDC = α，则∠FBA = α.
∵∠EDC =$\frac{1}{2}\angle ACB$，
∴∠ACB = 2∠EDC = 2α，∠ABC = 90°，
∴∠A = 90°-∠ACB = 90°-2α，∠CBF = 90°-∠FBA = 90°-α，
∴∠CFB = ∠A + ∠FBA = (90°-2α)+α = 90°-α，
∴∠CBF = ∠CFB，
∴CF = BC.
∵AF = AC - CF，
∴CE = AC - BC.