《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

2. 已知,平面内线段$AB$,点$C,M,N$,满足:$\angle CAM + \angle CBN = 180°$,$AC = AM$,$BC = BN$,连接$MN$,$D$为$MN$的中点,连接$AD,BD$.
(1)如图,当点$C$在线段$AB$上时,$AD$与$BD$的位置关系如何?请说明理由.
小明仔细思考后得出结论:$AD \bot BD$.思路是:延长$BD$交$AM$延长线于点$H$,易证$\triangle DMH \cong \triangle DNB$,可得$DH = BD$,$MH = BN$,即$D$为$BH$中点,于是······
请你帮小明写出完整的推理过程.
(2)如图,当点$C$在线段$AB$上方时,若$AB = 2BD$,求$\angle MAC$的度数.

答案： 2.
(1)证明：延长BD，交AM的延长线于点H，
∵∠CAM + ∠CBN = 180°，
∴AM//BN，
∴∠H = ∠DBN，∠HMD = ∠N，
∵D是MN的中点，
∴DM = DN，在△DHM和△DBN中，$\begin{cases}∠H = ∠DBN\\∠HMD = ∠N\\DM = DN\end{cases}$，
∴△DHM≌△DBN(AAS)，
∴DH = BD，MH = BN，
∴点D是BH的中点，
∵BC = BN，
∴BC = MH，
∴AM + MH = AC + BC，
∴AH = AB，
∵点D是BH的中点，
∴AD⊥BD；
(2)解：延长BD到H，使DH = DB，连接AH，MH，连接BM，
∵D为MN的中点，
∴DM = DN，在△DHM和△DBN中，$\begin{cases}DM = DN\\∠MDH = ∠NDB\end{cases}$，
∴△DHM≌△DBN(SAS)，
∴∠HMD = ∠N，MH = BN，
∵BC = BN，
∴MH = BC，
∵∠AMB + ∠NMB + ∠MAB = 180°，∠N + ∠NMB + ∠NBM = 180°，
∴∠AMB + ∠NMB + ∠MAB + ∠N + ∠BAM = 360°，又
∵∠N = ∠HMD，∠CAM + ∠CBN = 180°，
∴∠AMH + ∠CAB + ∠CBA = 180°，
∵∠C + ∠CAB + ∠CBA = 180°，
∴∠AMH = ∠C，在△AMH和△ACB中，$\begin{cases}AM = AC\\∠AMH = ∠C\\MH = BC\end{cases}$，
∴△AMH≌△ACB(SAS)，
∴AH = AB，∠MAH = ∠CAB，
∴∠MAH + ∠HAC = ∠CAB + ∠HAC，即∠MAC = ∠BAH，
∵BD = HD，
∴HB = 2BD，
∵AB = 2BD，
∴AB = HB，又
∵AH = AB，
∴AH = AB = HB，
∴△ABH是等边三角形.
∴∠BAH = 60°，
∴∠MAC = 60°.