《2025年追梦之旅初中期末真题篇八年级数学上册人教版河南专版》

21. (10分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$,$D$是$AB$边上一点(点$D$与$A,B$不重合),连接$CD$,过点$C$作$CE\perp CD$,且$CD = CE$,连接$DE$交$BC$于点$F$,连接$BE$.
(1)求证:$\triangle CAD\cong \triangle CBE$;
(2)当$\triangle BEF$是等腰三角形时,请直接写出$\angle ADC$的度数.

答案： 21.
(1)证明:
∵∠ACB=90°,CE⊥CD,
∴∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE,
∴∠ACD=∠BCE,在△CAD和△CBE中，$\begin{cases} AC=BC \\ ∠ACD=∠BCE \\ CD=CE \end{cases}$
∴△CAD≌△CBE(SAS);
(2)∠ADC的度数为112.5°或90°. [解析]
∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠CBA=45°.
∵CE⊥CD,且CD=CE,
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°,设∠ACD=α,则∠ADC=180°−∠A−∠ACD=135°−α,
∵△CAD≌△CBE,
∴∠ACD=∠BCE=α,∠A=∠CBE=45°,
∵∠BFE是△CFE的一个外角，
∴∠BFE=∠BCE+∠CED=α+45°,∠BEF=180°−(∠BFE+∠CBE)=180°−(α+45°+45°)=90°−α,
∵∠CBE=45°,∠BFE=α+45°,
∴∠BFE＞∠CBE,
∴BE＞EF,
∴当△BEF是等腰三角形时，有以下两种情况:①当BF=BE时,则∠BFE=∠BEF,
∴α+45°=90°−α,解得α=22.5°.
∴∠ACD=22.5°,
∴∠ADC=135°−α=112.5°;②当BF=EF时,则∠CBE=∠BEF,
∴45°=90°−α,解得α=45°.
∴∠ADC=135°−α=90°.综上所述，当△BEF是等腰三角形时，∠ADC的度数为112.5°或90°.

22. (10分)图1是一个长为$2a$、宽为$2b$的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形.
(1)求图2中的阴影部分的正方形的周长;
(2)观察图2,请推导出下列三个代数式$(a + b)^{2}$,$(a - b)^{2}$,$ab$之间的等量关系;
(3)如图3,点$C$是线段$AB$上的一点,以$AC、BC$为边分别向上下两侧作正方形,设$AB = 10$,两正方形的面积和$S_{1} + S_{2} = 58$,求图中阴影部分面积.

答案： 22.解:
(1)
∵阴影部分的正方形边长为a−b,
∴周长为4(a−b)=4a−4b;
(2)
∵大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积,故可表示为4ab+(a−b)$^2$,大正方形边长为a+b,故面积也可以表达为(a+b)$^2$,
∴(a+b)$^2$=(a−b)$^2$+4ab;
(3)设AC=m,BC=n,
∵AB=10,$S_1$+$S_2$=58,
∴m+n=10,$m^2$+$n^2$=58,
∵(m+n)$^2$=$m^2$+$n^2$+2mn,
∴100 =58+2mn,解得mn=21,由题意,得∠ACF=90°,
∴阴影部分的面积为$\frac{1}{2}$mn=10.5.